cos(A+B) = cosA cosB - sinA sinB
þegar hornin A og B eru bæði hvöss
og A+B < pí/2
ingar-
mynd:
Hornið
A og
hornið
B og
hornið
A+B
.gif)
laginu
sem gefur:
OQ/PC = OF/PG = QF/CG
Setjum inn það sem þekkt er og fáum:
(1/PC =) cosA/sinB = sinA/v
og það gefur okkur að v = (sinA sinB)/ cos A
laginu
sem gefur:
OQ/OC = OF/OE = QF/CE
Setjum inn það sem þekkt er og fáum:
1/u = cosA/t (= sinA/CE)
og það gefur okkur að u = t / cos A
og einnig að t = u cosA og þar sem t = cos(A+B) merkir þetta að:
cos(A+B) = u cosA
Við setjum það sem þekkt er um u og v inn í þessa jöfnu og fáum þá:
cos B = t/cos A + (sinA sinB)/cos A
Margföldum í gegn með cos A og fáum:
cosA cosB = t + sinA sinB
og leysum með tilliti til t og fáum:
t = cos A cos B - sin A sin B
og við vitum að t = cos(A+B) svo niðurstaðan er þessi:
cos(A+B) = cosA cosB - sinA sinB
Quod
Erat
Demonstrandum