P2A- Leiðbeiningar og lausnir (01.02.02)

Dæmasafn á bls. 20

Þetta er jafnhliða þríhyrningur. Teiknaðu hann upp og merktu allar hliðar hans að þær eru x á lengd. Notaðu Pyþagorasar-reglu til að reikna hæð hans í x-um!! Þannig finnurðu hæðina sem fall af x - þ.e. h(x) = og svo kemur niðurstaðan sem við skulum kalla hæðina.
Þ.e.: h(x) = hæðin.

Þetta köllum við: að tjá hæðina með breytunni x eða: skrifa hæðina sem fall af x.
Við högum okkur eins og x sé tiltekin tala og notum hana til að reikna hæðina. Hver sá sem síðar veit gildið á x-inu getur þá reiknað gildi hæðarinnar.

Flatarmálið(fer eftir því hversu x-ið er stórt)
>> þ.e. flatarmálið er fall af x
>> sem tjáð er með táknuninni: f(x)
f(x) = hæðin * hliðarlína / 2 >> og þetta einfaldarðu til að fá niðurstöðuna sem við skulum kalla flatarmálið.
Þar með hefurðu skrifað flatarmálið sem fall af x.

- -
Einnig er beðið um að skrifa ummálið sem fall af x.

Þetta er ferningur. Teiknaðu hann upp, dragðu hornalínuna og skrifaðu á hana lengdina x.
Nefndu hliðarlengdina a og notaðu Pyþagorasar-reglu til að skrifa a sem fall af x.
Skrifaðu síðan flatarmál ferningsins sem fall af x.

Rissaðu upp tiltekna fallið f(x). Merktu (á þægilegum stað!) punkt sem þú kallar P. Við hugsum okkur að x-hnit hans sé einmitt x og þá er y-hnitið f(x). Skrifaðu þessi hnit við P.

Athugaðu að beina línan í gegnum upphafspunktinn og punktinn P hefur jöfnu sem lítur svona út: y = k * x þar sem k er hallatalan.

Settu hnit punktsins P inn í jöfnu línunnar og reiknaðu hallatöluna.
Þannig tjáirðu k með x og færð jöfnu af gerðinni k = x-stæða sem þú notar til leysa með tilliti til x. Þá færðu jöfnu af gerðinni x = k-stæða eða x = g(k). Hér er bókstafurinn g notaður til að tákna að um er að ræða fall - en ekki sama fallið og það sem tjáð er með f í þessu dæmi.

Nú þarftu að taka y-hnit punktsins og tjá það með k.
Það gerirðu með því að setja g(k) í staðinn fyrir x í f(x).

og

9. dæmi:

Formengið:
Athugaðu hvort stæðan er þannig að til geti verið einhver gildi sem x má alls ekki taka. Þú veist að öll gildi eru leyfileg - nema þau sem gera deili að núlli. Köllum slík gildi banngildi.

Varpmengið:
Líttu eftir sérkennum stæðunnar. Geta komið út mínustölur? plústölur? tölur niður úr öllu valdi? upp úr öllu valdi? núll? Hvað gerist þegar breyta stæðunnar nálgast banngildi? að ofan? að neðan?

Pláss-
frekt!!

en
bara
í
þetta
skipti!!

Næst
hefurðu
fattað
trikkið!!

Kveikjari er sú tala sem kveikir á tölugildismerki.
Tölugildismerkið í |x| hefur ekkert að gera meðan x hefur pósitíf gildi. Það er ekki fyrr en x fer að taka gildi neðan við núll sem það kviknar til lífsins. Þess vegna er núll kveikjari tölugildismerkisins í stæðunni |x|.

Á miðju blaðs skaltu teikna talnalínu. Dragðu lóðrétt strik á hana í gegnum kveikjara |x| og láttu strikið ná niður síðuna.
Vinstra megin við kveikjara-línuna eru x-gildin negatíf.
Neðarlega á síðunni skaltu vinstra megin við kveikjaralínuna skrifa f(x) en í staðinn fyrir |x| skrifarðu -x.
Það er vegna þess að hérna er alls staðar kveikt á tölugildismerkinu og það skiptir um formerki á öllum negatífum gildum og gerir þau þannig pósitíf. Teiknaðu graf fallsins inn á þessa sömu mynd. Það er augljóst að grafið getur ekki náð hægri yfir kveikjaralínuna því þar er þetta fall ekki til.

Hægra megin við kveikjaralínuna skrifarðu f(x) en í staðinn fyrir |x| skrifarðu bara x því hér virkar tölugildið ekki. Teiknaðu hér upp graf fallsins. Ef það er til í kveikjaragildinu skaltu líka teikna þann punkt inn.

Eru þessi föll slétt eða odda eða hvorugt?

Jafnt fall er samhverft um y-ásinn. Ef maður sér graf þess getur maður þekkt það á því að
brjóta má grafið saman um y-ásinn og hægri armur grafsins fellur í þann vinstri.

Til þess að sýna að fallið f(x) er slétt fall þarf að sýna að: f(x) = f(-x)
Það er gert með reikningi. 
15. Dæmi a): Er fallið f(x) = 3 slétt eða odda eða hvorugt?
Við sjáum að f(x) = 3 og viljum vita hvað f(-x) er. Við setjum (-x) í stað (x) og fáum: f(-x) = 3. Við vitum að f(x) = 3 svo að niðurstaða athugunarinnar er þessi: f(x) = f(-x). Þessi niðurstaða gildir fyrir öll gildi á x. Þess vegna er fallið f(x)=3 slétt fall.

Oddafall er samhverft um uphafspunktinn. Ef maður sér graf þess getur maður þekkt að það er odda-fall því að þá má snúa grafinu 180 gráður og þá fellur það ofan í sjálft sig.

Til þess að sýna að fallið f(x) er odda-fall þarf að sýna að: f(x) = -f(-x)
Það er gert með reikningi.
15. dæmi b): Er fallið  f(x) = x^-5 slétt eða odda eða hvorugt?
Við sjáum að f(x) = x^-5 = 1/x⁵ 
Við reiknum f(-x) = (-x)^-5 = 1/(-x)⁵  = 1/-x⁵ = - 1/x⁵ = -f(x)
Sem sagt - niðurstaðan er: f(x) = -f(-x) svo að þetta er odda-fall.

Hvorki slétt né odda er það fall sem hvorugt skilyrðið uppfyllir
16. dæmi b): Er fallið f(x) = x² + x slétt eða odda eða hvorugt?
Reiknum f(-x) =  (-x)² + (-x) =  x² - x 
Hér sést að f(x) <> f(-x) og þess vegna er fallið ekki slétt
og einnig sést að f(x) <> -f(-x) og þess vegna er það ekki odda-fall.

Þetta fall er því hvorki slétt né odda.