P4-Leiðbeiningar og lausnir (31.01.2002)

Dæmasafn á bls. 41:
Dæmi 7, 8, 11, 13, 16, 17, 18, 22, 29, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38

Fallið f(x) er einkvæmt ef f(a) <> f(b) þegar a <> b.
Það merkir að engin lárétt lína sker graf fallsins nema einu sinni.

12. dæmi: f(x) = x² og x <= 0.
Við ritum fallið svona: y = x² og gerum okkur grein fyrir því að y > = 0

Leysum jöfnuna með tilliti til x og fáum x² = y og
x = plús eða mínus y^0,5 þ.e. x er jafnt og plús eða mínus rótin af y.

Vitað er að x er mínustala. Þar af leiðir að plús-lausnin kemur ekki til greina.
Fallið verður því: x = - y^0,5 þ.e. x = mínus rótin af y

Andhverfa fallið fæst með því að skipta á x og y sem hér gefur
y = - x^0,5

Í þessum dæmum þarf að gæta þess hvert formengið er fyrir f og f^-1 og athugaðu að það er fullt eins líklegt að þau séu ólík. Athugaðu þá hvaða áhrif formerkið hefur á útkomuna þegar þú reiknar og sýnir að (f o f^-1)(x) = (f^-1 o f)(x) = x

Sýnum að (f o f^-1)(x) = (f^-1 o f)(x) = x og byrjum á
þegar x>=0 {en það er formengi fallsins f^-1:
(f o f^-1)(x) = f((f^-1)(x)) = f(-x^0,5) = [-x ^0,5]² = x
síðan reiknum við
þegar x <=0 sem er formengi fallsins f:
(f^-1 o f)(x) = f^-1(f(x)) = f^-1(x²) = -[x²]^0,5 = -[x^{2* 0,5}] = -|x|
nú munum við að x <= 0 svo að þegar við fellum tölugildismerkið
er stæðan svona: - (- x) sem jafngildir x.

[Skýring: með því að draga rót beggja megin jafnaðarmerkisins fæst (x-2) = plús eða mínus rótin af y en þar sem x er minna en 2 eða í mesta lagi jafnt og 2 þá verður (x-2) ætíð minna en eða jafnt og núll og því getur plús-rótin af y ekki verið nothæf lausn því hún yrði aldrei minni en 0. Af þessum sökum er það aðeins mínus-rótin af y sem getur verið lausn.]

Andhverfa fallið verður því: y = 2 - (|x|)^0,5

Nú þarf að sanna að þetta sé einmitt andhverfa fallið við hið fyrra. Það er gert með því að athuga hvort f(f^-1(x)) = x og hvort f^-1(f(x)) = x. Við byrjum á því fyrra og þar sem formengið er x < 0 reiknum við:
f(f^-1(x)) = f(2 - (|x|)^0,5) = -([2 - (|x|)^0,5] - 2)²
= - ((2 - (|x|)^0,5 - 2)² = - ((|x|)^0,5)² = - (|x|)^1,0 = - |x|
en af því að x < 0 gildir |x| = - x og því fæst - |x| = - (-x) = x
og þar með er niðurstaðan sú að f(f^-1(x)) = x.

Hið síðara er reiknað á samsvarandi máta þar sem formengi fallsins f^-1 er x < = 2:
f^-1(f(x)) = f^-1(-(x-2)²) = 2 - (|-(x-2)²|)^0,5
sem vegna tölugildismerkisins má einnig rita svona:
2 - (|(x-2)²|)^0,5 = 2 - (|x-2|²)^0,5 = 2 - |x-2|^1,0 = 2 -|x - 2|
og þar sem x < = 2 er stærðin (x - 2) alltaf minni en eða jafnt og núll svo að |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x
svo að skrifa má
2 -|x - 2| = 2 - (2 - x) = 2 - 2 + x = x
eða: f^-1(f(x)) = x.

Alveg sami útreikningur skilar almennu jöfnunni:
log_ax = lnx / lna

Þetta setjum við inn í I svona:
I: y = 1 - (ln3) * (lnx) / (ln3)
[Athugaðu að ln3 er tiltekin tala - sem þú getur látið vasareikninn þinn sýna þér. Sú tala er ofan við strikið að margfalda lnx en sama tala er líka neðan við strikið að deila í lnx. Þess vegna styttum við þessar tvær tölur út. Þær eru alveg eins. Eftir verður aðeins lnx ofan við strikið og talan 1 neðan við strikið.] Við einföldum I í:
I: y = 1 - lnx

Formengið: Ekki er til logaritmi af negatífri tölu og ekki heldur af núlli.
Formengið er x > 0
Varpmengi: Ef x er stór tala - t.d. milljón - þá er lnx líka stór tala. Hún er sá veldisvísir sem setja þarf á e til að fá út milljón. Ef x er minni en 1 - t.d. 1/e sem er um það bil 0,37 - er lnx = -1 og ef x nálgast núll stefnir lnx æ hraðar á mínus óendanlegt. Hið sama gildir hér um y en með þeirri breytingu að þegar x stefnir á núll stefnir y á plús óendanlegt en á mínus óendanlegt þegar x stefnir upp úr öllu valdi.
Varpmengið er -oo < y < oo

Notum regluna hér fyrir ofan: log_ax = lnx / lna til að skrifa
log₁₀(x+2) = ln(x+2) / ln 10 og þá umritast I í:
I: y = (ln 10) * ln(x+2) / (ln 10) þar sem stærðin (ln 10) styttist út og
svarið er y = ln(x+2)

Formengið er: x > -2

Varpmengið er: y getur tekið öll gildi í R: -oo < y < oo

34. dæmi: Svarið er: t = (ln 3) / 0,05 = 21,97

Til að einfalda uppskriftir við útreikningana skulum við skíra stærðina e^x nýju breytuheiti og kalla hana t.
þannig að t = e^x og þá lítur jafnan svona út:
t + 1/t = 3

Þetta er jafna með broti og fyrsta verkefni okkar er að losna við brot.

(Jöfnur lögum við þannig til:

• (1) Eyðum svigum með því að margfalda inn í þá.
• (2) Eyðum brotum með því að margfalda gegnum jöfnuna með samnefnara brotanna. Við það koma oft inn nýir svigar og þá eyðum við þeim.
• (3) Röðum liðunum í nytsama röð svo að þeir falli inn í kunnuglegt útlit.
  Ef jafnan er fyrsta stigs setjum við liðinn með óþekktu stærðinni framan við jafnaðarmerkið en alla hina fyrir aftan.
  Ef jafnan er annars stigs röðum við þeim öllum framan við jafnaðarmerkið eftir fallandi veldi á óþekktu stærðinni.
• (4) Drögum saman samstæða liði til einföldunar.
• (5) Reiknum gildið á óþekktu stærðinni.
  Í fyrsta stigs jöfnu deilum við í gegn með stærðinni sem margfaldar óþekktu stærðina.
  Í annars stigs jöfnu notum við lausnar-þulu annars stigs jöfnunnar.)

Hér er aðeins eitt brot.
Það hefur nefnarann t.
Þar með er það t sem er samnefnarinn sem við viljum nota.
Við vitum að t er aldrei núll
(af því að t = e^x sem aldrei verður núll)
og þess vegna getum við margfaldað gegnum jöfnuna
(- alla liði beggja megin jafnaðarmerkisins -)
með t
og þá fæst:
t² + 1 = 3t

Þetta er venjuleg annars stigs jafna sem við röðum svona:
t² - 3t + 1 = 0
og leysum á venjulegan hátt. Hér á eftir læt ég +/- tákna plús eða mínus.
Við fáum t = 3/2 +/- (9/4 - 1)^0,5 = 3/2 +/- (5/4)^0,5 = (3 +/- 5^0,5) / 2

Til einföldunar í þessari uppskrift kalla ég plús-lausnina a og mínus-lausnina b.
a-lausnin skilar framhaldinu:
t = a
en af því að t = e^x jafngildir þetta því að
e^x = a
sem einnig má skrifa svona:
e^x = e^lna
(því að ln a er einmitt sá veldisvísir sem setja þarf á e til að fá út a)
og þá vitum við að
x = lna
(því að veldisvísirinn x hlýtur að vera jafn veldisvísinum ln a)
sem hér merkir að
x = ln [(3 + 5^0,5) / 2] sem við reiknum á vasareikninn.

Á sama hátt finnum við hina lausnina sem x = lnb

Lausnin notar aðferðina í 35. dæmi:

Við setjum inn breytuheitið t fyrir 2^x
þannig að t = 2^x og þá lítur jafnan svona út:
t + 1/t = 5

Margföldum í gegn með t og fáum:
t² + 1 = 5t

Röðum fyrir annars stigs jöfnu og fáum:
t² - 5t + 1 = 0
og leysum á venjulegan hátt. Hér á eftir læt ég +/- tákna plús eða mínus.
Við fáum t = 5/2 +/- (25/4 - 1)^0,5 = 5/2 +/- (21/4)^0,5 = (5 +/- 21^0,5) / 2

Til einföldunar í þessari uppskrift kalla ég plús-lausnina a og mínus-lausnina b.
a-lausnin er þá þessi:
a = (5 + 21^0,5) / 2
og þar verður framhaldið svona:
t = a
en af því að t = 2^x
jafngildir þetta því að
2^x = a
og af því að 2^x = (e^ln2)^x
má skrifa þetta svona:
e^xln2 = a = e^lna
og þar sem
e^xln2 = e^lna
er ljóst að veldisvísarnir eru jafnstórir svo að rétt er að rita:
x ln2 = ln a eða:
x = ln a / ln 2 og nú setjum við inn fyrir a og reiknum með vasareikni út gildið sem nú fæst á x:

x = ln[(5 + 21^0,5) / 2] / ln 2

Á sama hátt finnum við hina lausnina sem

x = ln[(5 - 21^0,5) / 2] / ln 2

Svarið við 38. dæmi er:
y = 2xe^x + 1

Útleiðslan er svona:

Tiltekið er að: ln(y-1) - ln2 = x + lnx

Setjum hvora hlið fyrir sig sem veldisvísi á e - svona:

e^{ln(y-1) - ln2} = e^x+lnx
Þetta eru veldastæður og hér gilda veldareglurnar:

e^ln(y-1) /e^ln2 = e^x.e^lnx

sem einnig má skrifa svona:
(y-1)/2 = e^x..x
sem rita má svona:

y - 1 = 2x e^x.
og að lokum einangrum við y svona:

y = 2x e^x. + 1

f(x) = y = 100 / (1 + 2^-x) og við vitum að sviginn (1 + 2^-x) getur aldrei orðið núll - hann verður raunar alltaf stærri en 1 - svo að við margföldum beggja megin með honum og fáum:
(1 + 2^-x) * y = 100 og næst - af því vð við vitum að y getur aldrei orðið núll - deilum við beggja megin með y og fáum:
(1 + 2^-x) = 100 / y sem við umritum í
2^-x = 100/y - 1 og þar sem -x er sá veldisvísir sem setja þarf á 2 til að fá út (100/y - 1) merkir það að:
-x = log₂(100/y - 1) og með því að margfalda beggja megin með -1 fæst:
x = - log₂(100/y - 1) sem strax má breyta yfir í andhverfa fallið með því að skipta á x og y svona:

f^-1(x) = y = - log₂(100/x - 1) sem til einföldunar umritast í:
y = - log₂((100-x)/x) og í:
y = log₂(x/(100-x)

Síðan er að sýna fram á að (f o f^-1)(x) = (f^-1 o f)(x) = x

• (a) Rökstyddu á sannfærandi hátt að þetta fall sé einkvæmt.
• (b) Reiknaðu jöfnu f^-1(x) og segðu hvaða vensl eru milli hallans á þessum tveimurgröfum?
• (c) Ef gröf tveggja falla eru tvær samsíða línur sem ekki eru láréttar - hvaða ályktanir geturðu þá dregið um gröf fallanna sem eru andhverf við þau tvö.
• (d) Ef gröf tveggja falla eru innbyrðis hornréttar línur - hvaða ályktanir geturðu þá dregið um gröf fallanna sem eru andhverf við þau tvö.

• (a) Skrifaðu jöfnu sem lýsir því magni sem eftir er þegar liðnir eru t tímar.
• (b) Hvenær verður 1 gramm eftir?

• (a) Teiknaðu graf fallanna f og g fyrir a-gildin 2, 3, 4 og 5. Hver virðast vera vensl grafanna f og g?
• (b) Teiknaðu graf fallsins h og notaðu það til að styðja ályktun þína.
• (c) Sýndu með reikningi að ályktun þín er rétt.

• (a) Teiknaðu graf fallanna f og g fyrir a-gildin 2, 3, 4 og 5. Hver eru vensl grafanna f og g?
• (b) Teiknaðu graf fallsins h(x) fyrir a-gildin 2, 3, 4 og 5. Lýstu gröfunum.
• (c) Teiknaðu graf fallsins r(x) fyrir a-gildin 2, 3, 4 og 5. Berðu gröfin saman við graf fallsins y = a.
• (d) Notaðu e^h(x) = e^{hgx) - f(x)} = a til að reikna jöfnu fallsins f(x).