Forsíða

P5A-Leiðbeiningar og lausnir (12.12.2001)

Dæmasafn á bls. 55:
Dæmi 1 - 22

1.
dæmi:		 (a) Hringur hefur radíusinn r = 10 metrar. Hversu langur er boginn sem lokar miðhorni (horni frá miðpunkti með geislum sem skera hringinn) sem er 4*pí/5 radíanar? í

Rifjum upp:
Ummál hringsins er 2*pí*radíusinn - þ.e.: U = 2*pí*r

Nú ætlum við að reikna í gráðum:
Samhengi radían-máls horna og gráðumáls er þetta:
360 gráður jafngilda 2*pí og þess vegna er það líka svo að
pí jafngildir 180 gráðum.
Hornið 4*pí/5 má líka skrifa svona: pí * (4/5) og þá sést að
pí * (4/5) hlýtur að jafngilda 180*(4/5) gráðum sem eru 144 gráður.
Ummál hrings með 10 m radíus er 2 * pí * 10
Þetta er sem sagt boginn sem lokar 360-gráða horni!
Þá mundi vera hægt að loka 1 gráðu horni með (2*pí*10)/360
og 144 gráða horni með boga sem væri 144 * (2*pí*10)/360
sem með einföldum verður 8*pí metrar

Reiknum þetta nú með því að nota radíanmál við að tákna stærð hornanna:
Heil-hrings-horn er nú táknað 2*pí að stærð (en ekki 360 gráður).
Hornið 4*pí/5 er aðeins hluti þessa heil-hrings.
Nánar til tekið er það svona stór hluti: (4*pí/5) / (2*pí)
Boginn sem lokar þessu horni er þá svona stór hluti af ummáli þessa stóra hrings - en það ummál er:
U = 2 * pí * 10 svo að hann verður þá:

[(4*pí/5)/(2*pí)] * 2*pí*10 sem
með einföldun gefur 8*pí metrar.

(b) en miðhorni sem er 110 gráður?

2.
dæmi:		 10*pí er lengd boga sem lokar miðhorni hrings með radíus 8.
Reiknaðu stær miðhornsins í gráðum og í radíönum (radíanmáli).

Hér skaltu skoða leiðbeininguna í dæmi 1.

3. - 4.
dæmi:		 Útfylltu töfluna. Ef hornafallið er ekki til í viðkomandi punkti skaltu þar setja táknið #. EKKI (!!) nota vasatölvu eða töflur.
5. - 6.
dæmi:		 Eitt hornafall er tiltekið og staðsetning hornsins. Notaðu það til að reikna svo að þú hafir að lokum öll þrjú gildin:
sin(x) =
cos(x) =
tan(x) =

Rifjum upp: Hugsum okkur einingarhringinn með þríhyrning teiknaðan í fyrsta fjórðungi. Miðhornið við punktinn O heitir A. Þá er cosA lengd skammhliðarinnar sem liggur á x-ásnum og sinA er lengd lóðréttu skammhliðarinnar. Lengd langhliðarinnar er alltaf 1 því þetta er einngarhringurinn.

Hornafallið tanA er hlutfallið sinA / cosA
Hornafallið cotA er hlutfallið cosA / sinA

Við skulum EKKI reikna út secA og cscA.
Það er ekki vegna þess að það sé svo flókið - heldur vegna þess að við notum tanA og cotA þeim mun meira.

Teiknaðu upp hjálparmynd áður en þú byrjar að reikna. Teiknaðu hnitakerfið og einingarhringinn og dragðu miðhornið sem um er að ræða. Til þess notarðu það hornafall sem gefið er.

7. - 10.
dæmi:		 Rissaðu gröf fallanna.
Notfærðu þér að þú þekkir einföldu gröfin y = sin(x) og y = cos(x) og taktu eftir að hér er verið að hnika þeim gröfum til.
11. - 12.
dæmi:		 Rissaðu gröf fallanna í t-s-hnitakerfi (t-ásinn er láréttur og s-ásinn er lóðréttur). Hver er lotan og hverjar eru samhverfurnar?
13. - 14.
dæmi:		 Umritaðu stæðurnar í stæðu þar sem sinus er aðeins af x og cosinus er aðeins af x

Í 13. dæmi a-lið er cos(pí +x)
Þetta áttu að umrita þannig að hvergi verði (pí + x) !!
Þetta á að verða eitthvað mikið af sin(x) og eitthvað mikið af cos(x).

15. - 16.
dæmi:		 Notaðu reglurnar um sinus og cosinus af hornasummu (sin(A+B og cos(A+B)) til að sýna að jöfnurnar eru réttar.
17. dæmi: Hvað gerist ef þú setur B = A inn í regluna: cos(A-B) = cosA cosB + sinA sinB ? Kannastu við útkomuna?
18. dæmi: Hvað gerist ef þú setur B = 2*pí inn í hornasummureglurnar? Kannastu við útkomurnar?
19.-20.
dæmi:		 Í fallinu: y = a * f(b*(x+c)) + d
hafa stærðirnar a, b, c og d hver sín áhrif á graf fallsin. Áhrifin eru þessi:
  • a markar útslagið. T.d.: a = 2 tvöfaldar y-gildið en a = 0,5 helmingar það.
  • b markar togið. T.d. b = 2 hraðar y-gildunum svo að strax í x = 0,5 fæst y-gildið sem annars fengist ekki fyrr en í x = 1. Hins vegar þjappar b = 0,5 grafinu saman. Þá þarf x að fá gildið 2 til að y fái það gildi sem ella hefði aðeins þurft x = 1 til.
  • c færir grafið til lárétt.
  • d færir grafið til lóðrétt.

Reiknaðu gildin á a, b, c og d í hverjum lið og rissaðu gröfin.

21. dæmi: Um hitann í Fairbanks í Alaska:
Reiknaðu a = útslagið, b = lotuna, c = láréttu færsluna og d lóðréttu færsluna á grafi fallsins.
22. dæmi: Um hitann í Fairbanks í Alaska - notaðu jöfnuna í 21. dæmi og mynd 46 á bls. 49.
Gerðu ráð fyrir 365 dögum í árinu og
(a) reiknaðu námundagildi fyrir mesta og fyrir minnsta daglegt hitagildi.
22. dæmi:
b-liður:		 (b) Hvert er meðaltal hæstu gilda og lægstu gilda ? Hvers vegna verður það meðaltal að lóðréttri færslu fallsins?

Við myndina nr. 46 á bls. 49 er bent á að grafið er því sem næst sinusfall. Venjulegt sinusfall hefur jafnmikinn slátt í pósitífa átt og í negatífa átt þannig að slættirnir jafna sig út og meðaltalið er 0. Meðaltalslínan fer ætíð í gegnum sínusbylgjuna miðja. Hækki sínusfallið þá hækkar líka meðaltalslínan.

Nánar tiltekið:
Til þess að sinusfallið hækki frá upphafsstöðunni um x-ásinn, um tiltekna stærð, a, þarf sú stærð, a, að leggjast við öll gildin. Mesti hiti verður a meiri en áður og minnsti hiti verður a hærri en áður. Þar með hækkar um leið meðaltalið um a.Línan y = a liggur þá einmitt meðaltalinu (þ.e. a) ofan við x-ásinn.

Efst á þessa síðu * Forsíða