GÓP-fréttir

Forsíða	1.1-Leiðbeiningar og lausnir (30.11.2001) Dæmasafn á bls. 95: Dæmi 10, 12, 47, 49
1, - 4. dæmi:	Reiknaðu meðalhröðun fallsins á viðkomandi bilum.
5. dæmi:	Grafið sýnir samband tíma og vegalengdar þegar Ford Mustgang Cobra bifreið ekur af stað. a) Áætlaðu hallatölur línanna PQ₁, PQ₂, PQ₃, og PQ₄ og settu þær upp í töflu. Hver er viðeigandi eining í þessu samhengi? b) Áætlaðu hraða bifreiðarinnar þegar hún hefur ekið í 20 sekúndur.
6. dæmi:	Maður var að störfum efst í loftnetsmastri á tunglinu og missti þá skiptilykil niður á þak stöðvarinnar. Fallið var 80 metrar. Meðfylgjandi mynd sýnir í metrum þá vegalengd sem skiptilykillinn hefur fallið eftir t sekúndur. a) Áætlaðu hallatölur línanna PQ₁, PQ₂, PQ₃, og PQ₄ og settu þær upp í töflu. b) Hver var hraði skiptilykilsins þegar hann skall á þakinu?
7. dæmi:	Meðfylgjandi tafla sýnir í fetum þá vegalengd sem bolti hefur farið niður skáplan á t sekúndum. Áætlaðu hraða boltans þegar t = 1 með því að reikna efri og neðri mörk og taka meðaltal af þeim. Það er að segja: reiknaðu a <= v(1) <= b og áætlaðu v(1) sem meðaltalið (a + b) / 2.
8. dæmi:	Lest leggur af stað og eykur hraðann upp í sinn mesta ferðahraða. Þá hægir hún hraðann og fer í gegnum borg á jöfnum hraða. Eftir það eykurhún hraðann upp í fullan ferðahraða. Hún hægir svo ferðina jafnt og þétt og stöðvast á áfangastað. Rissaðu graf sem sýnir þá vegalengd sem lestin hefur ekið á ferðatímanum.
9. dæmi:	Myndin sýnir graf fallsins g(x). Reiknaðu markgildið - eða skýrðu hvers vegna það er ekki til: a) lim _x->1 g(x) a) lim _x->2 g(x) a) lim _x->3 g(x)
10. dæmi:	Myndin sýnir graf fallsins f(t). Reiknaðu markgildið - eða skýrðu hvers vegna það er ekki til: a) lim _{t-> -2} f(t) Lausn: Markgildið er til og það er 0. Rökin eru þessi: Fallið f(t) hefur markgildi í t = - 2 ef f(t) stefnir að tilteknu gildi - sem við skulum kalla M - hvort sem t nálgast -2 neðan frá eða ofan frá. Myndin sýnir að Þegar t-> -2 ^- nálgast f(t) núll og sama gerist þegar t->2 ⁺ - þ.e. ofan frá. Vissulega er f(-2) ekki til en það hefur ekki áhrif á þessa niðurstöðu. Fall getur haft markgildi í tilteknum punkti þótt það sé ekki skilgreint í þeim punkti. b) lim _{t-> -1} f(t) Laust: Markgildið er til og það er -1. Sami rökstuðningur og í a-lið. c) lim _t->0 f(t) Lausn: Markgildið er ekki til. Þegar t nálgast núll neðan frá stefnir f(t) á -1. Þegar t nálgast núll ofan frá stefnir f(t) á 1. Þar sem þessi tvö gildi eru ekki sama gildið þá hefur fallið ekki markgildi í t = 0.
11. dæmi:	Hér eru 6 fullyrðingar um fallið y = f(x) sem sýnt er á myndinni og þú skalt segja til um hverjar þeirra eru réttar og hverjar rangar.
12. dæmi:	Hér eru 5 fullyrðingar um fallið y = f(x) sem sýnt er á myndinni og þú skalt segja til um hverjar þeirra eru réttar og hverjar rangar. a) lim_x->2f(x) er ekki til. Lausn: Þetta er röng fullyrðing. Myndin sýnir að þegar x stefnir á 2 neðan frá stefnir f(x) á 1 og sama gerist þegar x stefnir á 2 ofan frá. Markgildið er til og það er 1. Engu skiptir að fallið er með punkt utan ferilsins í x = 2. b) lim_x->2f(x) = 2. Lausn: Þetta er röng fullyrðing. Markgildi f(x) er 1 þegar x stefnir á 2. Það sést á myndinni. c) lim_x->1f(x) er ekki til. Lausn: Þetta er rétt (sönn) fullyrðing. Þegar x stefnir á 1 neðan frá fæst markgildið -2 sem ekki er það sama og það sem f(x) stefnir á þegar x stefnir á 1 ofan frá - því þá stefnir f(x) á 0. Markgildi fallsins í tilteknum punkti er ekki til samkvæmt skilgreiningunni á bls. 92 - nema markgildið sé hið sama hvort sem x-gildin nálgast ofan frá eða neðan - eða hvort sem ferillinn er dreginn að þessu x-gildi neðan frá eða ofan frá. d) lim_x->Xof(x) er til fyrir öll x_o á formenginu (-1,1). Þetta er sönn fullyrðing. Það sést steax á því að ferillinn er teiknaður samfelldur á öllu þessu bili - og að bilið er opið. Það er því ekki verið að spyrja hvort fallið hafi markgildi í endapunktunum. Þetta fall hefur t.d. aðeins hægra-markgildi í vinstri endapunkti bilsins. d) lim_x->Xof(x) er til fyrir öll x_o á formenginu (1,3). Lausn: Þetta er sönn fullyrðing. Sjá rökstuðninginn í a-lið og í d-lið. Í hverjum einasta punkti c í þessu opna mengi gildir að til er markgildi fyrir f(t) þegar t stefnir á c.
13. - 14. dæmi:	Gerðu grein fyrir því hvers vegna þessi markgildi eru ekki til.
15. dæmi:	Til er fallið f(x) þannig að það er til fyrir öll gildi á x nema x = x₀. Er þá hægt að draga einhverjar ályktanir um hvort til er lim _{x-> Xo} f(x) ? Rökstyddu svarið.
16. dæmi:	Til er fallið f(x) þannig að það er til fyrir öll x í [-1,1]. Er þá hægt að draga einhverjar ályktanir um hvort til er lim _{x-> 0} f(x) ? Rökstyddu svarið.
17. dæmi:	Vitað er að lim _{x-> 1} f(x) = 5 Er þar með víst að f(1) sé til ? Ef f(1) er til - er þá nauðsynlegt að f(1) = 5 ? Er unnt að draga einhverjar ályktanir um f(1) ?
18. dæmi:	Ef f(1) = 5 er þá víst að til sé lim _{x-> 1} f(x) ? Ef til er lim _{x-> 1} f(x) er þá nauðsynlegt að lim _{x-> 1} f(x) = 5 ? Er unnt að draga einhverjar ályktanir um lim _{x-> 1} f(x) ? Rökstyddu svarið.
19. - 26. dæmi:	Notaðu graf-tölvu við þessi dæmi. Skrifa skal töflu yfir gildi fallsins í hinum tilteknu x-gildum og draga af þeim ályktun um tiltekið markgildi. Síðan skal styðja tilgátuna með því að láta tölvuna teikna graf fallsins.
27. - 30. dæmi:	Notaðu grafið til að reikna deltu > 0 þannig að fyrir öll x gildi: 0 < \|x - x₀\| < delta gildi: \|f(x) - L\| < epsilon
31. - 36. dæmi:	Tiltekið er fallið f(x), markgildið L, x-gildið x₀ og epsilon > 0. Reikna skal opin bil með (sem inniheldur) x₀ þar sem á öllu bilinu gildir \|f(x) - L\| < epsilon. Reikna skal síðan gildi á delta > 0 þannig að fyrir öll x sem uppfylla 0 < \|x - x₀\| < delta gildi: \|f(x) - L\| < epsilon.
37. dæmi:	Áður en þú tekur að þér að slípa stimpil í vél þannig að yfirborð hans verði 9 ferþumlungar þarftu að vita hvert frávikið má vera á radíusnum frá því besta - sem væri x₀ = 3,385 tommur - svo að þú náir því samt að hafa yfirborðið innan við 0,01 fertommu frá hinum eftirsóttu 9 fertommum. Til þess að finna þetta út notarðu flatarmálsfallið A = pí(x/2)² og reiknar það bil sem x verður að vera á til að \|A - 9\| <= 0,01. Hvert verður bilið?
38. dæmi:	Ohms lögmál í rafrás - eins og þeirri sem sést á myndinni - segir: V = RI þar sem V er föst spenna, I er straumurinn í amperum og R er viðnámið í ohmum. Fyrirtæki þitt hefur fengið það verkefni að framleiða viðnámin í rás þar sem V = 120 volt og I = 5 +/- 0,1 amper. Á hvaða bili þarf R að vera til að I verði innan 0,1 amper frá hinu eftirsótta gildi: I₀ = 5 ?
39. dæmi:	Tiltekið er f(x) = (3x - 1)^0,5 a) Sýndu að lim _{x-> 2} f(x) = 2 = f(2) b) Notaðu graf fallsins til að áætla gildi fyrir a og b þannig að 1,8 < f(x) < 2 þegar a < x < b c) Notaðu graf fallsins til að áætla gildi fyrir a og b þannig að 1,99 < f(x) < 2,01 þegar a < x < b
40. dæmi:	Tiltekið er f(x) = sin x a) Reiknaðu f(pí/6). b) Notaðu graf fallsins til að finna bil (a,b) sem inniheldur x = pí/6 þannig að 0,3 < f(x) < 0,7 þegar a < x < b c) Notaðu graf fallsins til að finna bil (a,b) sem inniheldur x = pí/6 þannig að 0,49 < f(x) < 0,51 þegar a < x < b
41. dæmi:	Blöðru með vatni er kastað frá glugga í háu húsi og fallvegalengdin er y = 4,9t² metrar á t sekúndum. Reiknaðu a) meðalhraða blöðrunnar á fyrstu þremur sekúndunum b) og hraða hennar þegar t = 3.
42. dæmi:	Steinn hrapar á lítilli og loftlausri stjörnu og fallvegalengdin er y = gt² metrar á t sekúndum þar sem g er fasti. Gerum ráð fyrir að steinninn falli niður um 20 metra og fallið taki 4 sekúndur. a) Reiknaðu g. b) Reiknaðu meðalhraða steinsins í fallinu. c) Hver var hraðinn þegar steinninn skall niður?
43. - 46. dæmi:	Ljúktu við töfluna og tiltaktu hvað þú telur markgildi f(x) vera þegar x stefnir á 0.
47. - 50. dæmi:	Notaðu graf-tölvu. a) Láttu tölvuna teikna grafið við hið tiltekna x-gildi. b) Notaðu grafið til að áætla um markgildið. c) Hvað merkir þetta markgildi? Hversu vel tókst þér að giska?
51. - 54. dæmi:	Notaðu graf-tölvu. a) Láttu tölvuna teikna grafið við hið tiltekna x-gildi. b) Notaðu grafið til að áætla um markgildið. Hvað merkir þetta markgildi? Hversu vel tókst þér að giska? c) Notaðu gildið epsilon = 0,2 og teiknaðu línurnar y₁ = L - epsilon og y₂ = L + epsilon í sama hnitakerfi og f(x) við x = x₀. d) Notaðu grafið í c-lið til að reikna delta > 0 þannig að fyrir öll x sem eru þannig að 0 < \|x - x₀\| < delta gildi \|f(x) - L\| < epsilon. Prófaðu mat þitt með því að teikna gröf f og y₁ og y₂ á bilinu 0 < \|x - x₀\| < delta Láttu grafið ná yfir bilið (formengið) x₀ - 2delta <= x <= x₀ + 2delta og þá verður varpmengið innan bilsins L - 2 epsilon <= y <= L + 2epsilon Athugaðu að ef einhver gildi lenda utan þessa varpmengis hefurðu valið deltu of stóra. Minnkaðu hana þá og reyndu aftur. e) Endurtaktu c-lið og d-lið með epsilon = 0,1 og 0,05 og 0,001.

Efst á þessa síðu * Forsíða

1.1-Leiðbeiningar og lausnir (30.11.2001)