GÓP-fréttir

Forsíða	1.4-Leiðbeiningar og lausnir (29.11.2001) Dæmasafn á bls. 132: Dæmi: 5, 6, 15
1. - 4. dæmi:	Er fallið sem grafið sýnir samfellt á bilinu [-1,3] ? Ef það er ekki samfellt - segðu þá hvar það er ekki samfellt - og hvers vegna.
5. - 10. dæmi:	Þessi dæmi fjalla öll um fallið f(x) sem til er tekið framan við þau. Graf fallsins er á mynd 1.57. 5 - a: Er f(-1) til? 5 - b: Er lim f(x) til þegar x -> -1⁺ ? 5 - c: Er markgildið í b-liðnum = f(-1) ? 5 - d: Er f(x) samfellt í x = -1 ? 6 - a: Er f(1) til ? 6 - b: Er lim_x->1f(x) til ? 6 - c: Er markgildið í b-liðnum = f(1) ? 6 - d: Er f(x) samfellt í x = 1 ? 7 - a: Er f(x) skilgreint í x = 2 ? 7 - b: Er f(x) samfellt í x = 2 ? 8: Hvar er f(x) samfellt ? 9: Hvaða gildi þarf f(2) að taka til þess að f(x) verði samfellt í x = 2 ? 10: Hvaða breyting þyrfti að verða á gildinu í f(1) til þess að f(x) verðir samfellt í x = 1 ?
11. - 12. dæmi:	Athugaðu föllin í dæmum 11 og 12 á bls. 96. Segðu í hvaða punktum þau eru ekki samfelld. Eru einhverjir punktar þar sem föllin eru ekki samfelld en unnt væri að gera þau samfelld með því að breyta f-gildi í punktinum? Rökstyddu svörin.
13. - 20. dæmi:	Á hvaða bilum er fallið samfellt?
18. dæmi:	Á hvaða bilum er fallið samfellt? Lausn: Skoðum tangens-fallið. Þar sem er ljóst að cos v má ekki verða núll. Vitað er að cos v = 0 ef v = pí/2 eða v = (pí/2 + ppí) þar sem p er heil tala. Þ.e.: cos pí/2 = cos 3pí/2 = cos 5pí/2 = ... = cos [(2p+1)pí/2] = 0 þegar p er heil tala. Þ.e.: cos(pí/2 oddatala) = 0 Í fallinu hefur x það hlutverk að margfalda pí/2. Það er því ljóst að ef x er oddatala verður cosinusinn af útkomunni að núlli. Þá er fallið ekki til í þeim punkti og þar með ekki samfellt í þeim punkti. Fallið er hins vegar samfellt fyrir öll önnur gildi á x. Fallið er ekki samfellt - og ekki til - þegar x er oddatala. Skoðaðu graf fallsins y = tan x á mynd 1.34 á bls. 117.
21. - 24. dæmi:	Reiknaðu markgildið. Er fallið samfellt í punktinum sem stefnt er að ?
23. dæmi:	Guðni Helgason í október 2001: Ath: Samkvæmt skilgreiningu er sec y = 1/cos y lim_y->1 sec(y sec² y - tan² y - 1) = lim_y->1 sec(y sec² y - (tan² y + 1)) = lim_y->1 sec(y sec² y - (sin² y / cos² y + 1)) = lim_y->1 sec(y sec² y - ((sin² y + cos² y) / cos² y ) = lim_y->1 sec(y sec² y - (1 / cos² y ) = lim_y->1 sec(y sec² y - sec² y ) = lim_y->1 sec((y-1) sec² y) = sec((1-1) sec² 1) = sec(0) = 1 / cos 0 = 1/1 = 1
25. dæmi:	Vitað er um fallið f(x) að það er samfellt á [0,1] og það er negatíft í x = 0 en pósitíft í x = 1. Geturðu dregið einhverjar ályktanir af þessum upplýsingum um jöfnuna f(x) = 0 ? Rissaðu graf af fallinu til að styðja tilgátu þina.
26.dæmi:	Hvers vegna hefur jafnan cos x = x að minnsta kosti eina lausn?
27. dæmi:	Útskýrðu hvers vegna eftirfarandi fimm dæmi eru í raun öll eitt og sama dæmið: a) Reiknaðu núllstöðvar fallsins f(x) = x³ - 3x - 1 Núllstöðvar fallsins eru í þeim x-gildum sem gera rétta jöfnuna: x³ - 3x - 1 = 0 b) Reiknaðu x-hnit punktanna þar sem ferill fallsins y = x³ sker línuna y = 3x + 1 Þar sem fallið og línan skerast hafa þau sama y-gildi en það merkir að: x³ = 3x + 1 sem einnig má skrifa x³ - 3x - 1 = 0 c) Reiknaðu öll gildi á x sem gera rétta jöfnuna x³ - 3x = 1 Þetta umritast í x³ - 3x - 1 = 0 d) Reiknaðu x-hnit punktanna þar sem ferill fallsins y = x³ - 3x sker línuna y = 1 Þar gildir að x³ - 3x = 1 sem umritast í x³ - 3x - 1 = 0 e) Leystu jöfnuna x³ - 3x - 1 = 0 Athugaðu að í þessu dæmi er ekki beðið um að leysa jöfnuna. Ef þú vilt finna lausnirnar notarðu meðalgildisregluna (Theorem 10 á bls. 130) og forrit sem dregur upp feril. Þú getur notað Excel. Meðalgildisreglan segir að ef þú finnur eitthvert gildi á x, t.d. x = a, þannig að f(a) < 0 og þú finnur annað gildi x = b, þannig að f(b) > 0 þá hlýtur að vera til gildi c á bilinu (a,b) þannig að f(c) = 0. Þú prófar þig áfram með því að gefa sífellt ný gildi og þrengja þannig bilið sem geymir núllstöðina, þ.e. gildið c. Hér er Excel-skjal sem sýnir hvernig finna má lausnir þessarar jöfnu.
28. dæmi:	Tiltekið er fallið f(x) = x³ - 8x + 10 Sýndu að til er að minnsta kosti einn punktur á ferlinum þar sem a) f(x) = pí b) f(x) = mínus rótin af 3 c) f(x) = 5.000.000 Hér notfærirðu þér meðalgildisregluna. Dæmi: c - liður: x³ - 8x + 10 = 5.000.000 sem jafngildir x³ - 8x - 4.999.990 = 0 Skoðum fallið f(x) = x³ - 8x - 4.999.990 Við leitum að gildi x = a þannig að f(a)>0 og að gildi x = b þannig að f(b)<0 Látum a = 1.000.000 því ljóst er að f(1.000.000) > 0 Látum b = 0 þar sem f(0) < 0. Þar sem þetta fall er samfellt á bilinu ]a,b[ þá tekur það - samkvæmt meðalgildisreglunni - öll þau gildi sem til eru milli f(a) og f(b) og þar með líka gildið 0. Köllum þann punkt x= c. Þar er f(c) = 0. Í þeim punkti er x³ - 8x - 4.999.990 = c³ - 8c - 4.999.990 = 0 og x = c er ein lausn á jöfnunni.
29. dæmi:	Búðu til dæmi um fall f(x) sem er samfellt fyrir öll gildi á x nema x = 2 en þar er ósamfelldni sem unnt er að 'bæta'. Útskýrðu hvernig þú veist að fallið er ósamfellt í x = 2 og hvernig þú veist að unnt er að ráða bót á því.
30. dæmi:	Búðu til dæmi um fall g(x) sem er samfellt fyrir öll gildi á x nema x = -1 en þar er ósamfelldni sem ekki er unnt að 'bæta'. Útskýrðu hvernig þú veist að fallið er ósamfellt í x = -1 og hvernig þú veist að ekki er unnt að ráða bót á því.
31. dæmi:	Reiknaðu ræturnar með þremur aukastöfum. Þetta dæmi má reikna í tölvu sem teiknar grafið. Þegar grafið er komið upp og núllstöð sést - þ.e. staður þar sem ferillinn fer í gegnum x-ásinn, er beðið um graf af sífellt þrengra svæði sem þó inniheldur núllstöðina - uns endapunktar svæðisins eru skráðir með þremur aukastöfum. Einnig má reikna þetta dæmi með því að skrifa það svona: x⁵ - x⁴ - 5x³ = x³(x² - x - 5) og leysa síðan annars stigs jöfnuna x² - x - 5 = 0 sem skilar lausnunum: x = (1 + rótin af 21)/2 og x = (1 mínus rótin af 21) / 2 og auk þeirra er svo gildið x = 0 þreföld núllstöð. Lausnin skrifast þá þannig: x⁵ - x⁴ - 5x³ = (x - 0) * (x - 0) * (x - 0) * (x - [(1 + rótin af 21)/2] * (x + (1 + rótin af 21)/2]
32. dæmi:	Rita skal margliðuna x³ - 3x - 1 á forminu (x - r) q(x) þar sem q(x) er annars stigs margliða. Reiknaðu r með þremur aukastöfum. Þetta er gert ráð fyrir að réiknað sé í tölvu sem teiknar grafið. Þegar grafið er komið upp og núllstöð sést - þ.e. staður þar sem ferillinn fer í gegnum x-ásinn, er beðið um graf af sífellt þrengra svæði sem þó inniheldur núllstöðina - uns endapunktar svæðisins eru skráðir með þremur aukastöfum.
33. dæmi:	a) Notfærðu þér þá staðreynd að hvert einasta bil milli tveggja rauntalna inniheldur bæði ræðar og óræðar tölur - til að rökstyðja að fallið f(x) er ósamfellt í hverjum einasta punkti. b) Er f(x) í einhverjum punkti hægri-samfelldni eða vinstri-samfelldni ?
34. dæmi:	Er það hugsanlegt - ef föllin f(x) og g(x) eru samfelld á [0,1] - að f(x) / g(x) sé hugsanlega ósamfellt í einhverjum punkti á bilinu? Rökstyddu svarið.
35. dæmi:	Er það rétt að fall sem er samfellt á tilteknu bili og tekur þar aldrei gildið NÚLL geti aldrei skipt um formerki á bilinu?
36. dæmi:	Er það rétt að ef þú teygir teygju - með því að toga annan endann til vinstri en hinn til hægri - að þá hljóti einhver punktur teygjunnar að verða á sama stað og hann var áður en þú teygðir teygjuna? Rökstyddu svarið.
37. dæmi:	Tiltekið er að fallið f(x) er samfellt á lokaða bilinu [0,1] og að 0 </= f(x) </= 1 fyrir öll x á bilinu. Sýndu að það hljóti að vera til að minnsta kosti ein tala - köllum hana c - á bilinu þannig að f(c) = c.
38. dæmi:	Tiltekið er að fallið f(x) er skilgreint á bilinu ]a,b[ og að í c sem er á bilinu er f(c) samfellt og f(c) <> 0. Sýndu að til er bil við c: ]c - delta, c + delta[ þar sem f hefur sama formerki og f(c). Taktu eftir að þótt f sé skilgreint á öllu bilinu þarf fallið aðeins að vera samfellt í x = c til þess að þessi regla haldi. Það dugar til þess að sýna að f er <> 0 á öllu bilinu - enda þótt það kunni að vera aðeins örstutt !!
39. dæmi:	Louisa hefur gert launasamning. Hún fær í byrjunarlaun kr. 36.500 (jú - auðvitað - dollara - en látum það bara heita krónur - súperkrónur). Samningurinn gerir ráð fyrir að launin hækki um 3,5árlega í 4 ár. a) Sýndu að launin séu y = 36.500(1,035)^{int t} þar sem t er árafjöldinn frá því að samningurinn var gerður. b) Rissaðu graf launafallsins. Hvar er fallið samfellt ?
40. dæmi:	Bílageymsla tekur 110 krónur fyrir að geyma bifreið í 1 klst. - eða brot úr klst. Greiðslan verður þó ekki meiri en kr. 725 fyrir að geyma bifreiðina heilan sólarhring. a) Skrifaðu formúlu sem skilar gjaldinu eftir x klst þar sem 0 </= x </= 24. b) Rissaðu graf fallsins og segðu hvort það er einhvers staðar samfellt.

Efst á þessa síðu * Forsíða

1.4-Leiðbeiningar og lausnir (29.11.2001)