Forsíða

1.5-Leiðbeiningar og lausnir (02.12.2001)

Dæmasafn á bls. 139:
Dæmi: 5, 9, 13, 18, 27

1. - 4.
dæmi:		 Notaðu reglustiku til að draga snertil til grafsins í punktinum P1 og einnig í punktinum P2 og reiknaðu út hallatölur þessara snertla. Athugaðu að það er alveg eðlilegt að þú fáir ekki út alveg það sama og svörin segja því örðugt er að draga einmitt rétta snertilinn!
5.-8.
dæmi:		 Reiknaðu jöfnu snertils til ferilsins í tiltekna punktinum.
Rissaðu upp grafið ásamt snertlinum.
9.-12.
dæmi:		 Reiknaðu jöfnu snertilsins í tiltekna punktinum.
13. dæmi: Reiknaðu halla ferilsins í tiltekna x-gildinu.
14. dæmi: Reiknaðu halla ferils fallsins y = (x - 1)/(x + 1) þegar x = 0.

Lausn:
Reikna skal hallann í punktinum P(0 , f(0)) = P(0 , -1)
Hallatalan m reiknast þá svona:
m = limh->0[f(0+h) - f(0)]/h
= limh->0[(h-1)/(h+1) - (-1)]/h
= limh->0[{(h-1) + (h+1)}/h]
= limh->0[2h/h] = 2.

Hallatala snertils í punktinum P(0, -1) er 2 og jafna snertilsins er:
y + 1 = 2 (x - 0) sem umritast í:
y = 2x - 1.

15. dæmi: Reiknaðu hvar fallið hefur láréttan snertil.
16. dæmi: Reiknaðu hvar fallið f(x) = x3- 3x hefur láréttan snertil.

Lausn:
Láréttur snertill er í þeim punktum þar sem hallatala snertils er núll.
Hallatala snertilsins er:
m = limh->0 [f(x+h)-f(x)]/h = (eftir alla útreikningana!!) = 3x2 - 3

Hvaða gildi á x gera m að núlli?
Við leitum þeirra x-gilda sem gera rétta jöfnuna:
3x2 - 3 = 0

Umritun vinstri hliðar jöfnunnar er svona:
3(x+1)(x-1) = 0
og við sjáum að það eru tvö x-gildi sem gera þetta margfeldi að núlli.
Annað er

(A) x = 1 og hitt er
(B) x = -1.

(A)-lausnin gefur punktinn P(1,f(1)) = P(1 , -2)
Jafna snertilsins er:
y + 2 = 0 (x - !) sem umritast í y = -2.

(B)-lausnin gefur punktinn P(-1 , 2)
Jafna snertilsins er:
y - 2 = 0 (x + 1<9 sem umritast í y = 2.

17. dæmi: Fallið er y = 1/(x-1)
Reiknaðu jöfnur allra snertla sem hafa hallatöluna -1.
18. dæmi: Fallið er: y = x0,5
Reiknaðu jöfnu þess snertils sem hefur hallatöluna 1/4.

Lausn:
Fyrst þarftu að reikna hallatöluna sem markgildið
limh->0[f(x+h) - f(x)]/h = limh->0[(x+h)0,5 - x0,5]/h
sem að lokum skilar niðurstöðunni: 1/(2x 0,5) sem er þá hallatalan í viðkomandi x-gildi. Þ.e. hallatalan í punktinu (x , f(x)).

Á bls. 148 í bókinni skaltu skoða example 1 þar sem þessi útleiðsla er framkvæmd.

Næst er að reikna það gildi á x sem gerir f'(x) = 1/4. Til þess þarf að leysa þá jöfnu - sem lítur svona út:
1/(2x 0,5) = 1/4

Þú skalt eyða brotunum með því að margfalda í gegn með samnefnaranum - og stytta með tveimur og að lokum hefurðu:
x 0,5 = 2
sem gefur x = 4.

Snertipunkturinn er því P(4, 2) og hallatalan er 1/4 og jafna snertilsins er

y - 2 = 1/4 * (x - 4)

sem lagast yfir í:

y = x/4 + 1

19. dæmi: Hlut er varpað úr 100 metra háum turni. Hæð hlutarins yfir jörðu er 100 - 4,9 t2 metrar eftir t sekúndur. Reiknaðu hraða hlutarins eftir tvær sekúndur.
20. dæmi: t sekúndum eftir að eldflaug er skotið á loft er hún komin í 3 t2 feta hæð. Reiknaðu hversu hratt hún hækkar sig eftir 10 sekúndur.
21. dæmi: Reiknaðu hversu hratt flatarmál hrings eykst þegar radíus hans er 3.
22. dæmi: Reiknaðu hversu hratt rúmmál kúlu eykst þegar radíus hennar er 2.
23. dæmi: Jafna frjáls falls á Mars er s = 1,86 t2 metrar á t sekúndum. Gerum ráð fyrir að steini sé varpað fram af 200 metra háum kletti. Reiknaðu hraða hans eftir 1 sekúndu.
24. dæmi: Jafna frjáls falls á Júpíter er s = 11,44 r2 metrar á t sekúndum. Gerum ráð fyrir að steini sé varpað fram af 500 metra háum kletti. Reiknaðu hraða hans eftir 2 sekúndur.
25. dæmi: Hefur graf fallsins f(x) snertil í origo - þ.e. í punktinum (0,0)? Færðu rök fyrir svarinu.
26. dæmi: Hefur graf fallsins g(x) snertil í origo? Færðu rök fyirr svarinu.
27. dæmi: Hefur fallið f(x) lóðréttan snertil í origo? Færðu rök fyrir svarinu.

Lausn:
Skoðaðu skilgreiningu á hallatölu og snertli á bls. 136:
Hallatala snertils í punktinum P(x, f(x)) er
k = limh->0[f(x+h) - f(x)]/h ef það markgildi er til. Taktu eftir að það þarf að vera til og vera hið sama hvort sem h er pósitíft eða negatíft.

Reiknum markgildið þegar x = 0.
Fyrst reiknum við markgildið frá vinstri - þ.e. þegar h < 0:

limh->0-[f(0+h) - f(0)]/h =limh->0[-1 - 0]/h = limh->0 -1/h = oo þ.e.: plús óendanlegt.

Svo reiknum við markgildið frá hægri - þ.e. þegar h > 0:

limh->0+[f(0+h) - f(0)]/h =limh->0[1 - 0]/h = limh->0 1/h = oo þ.e.: plús óendanlegt.

Markgildið er því til og er + óendanlegt sem samkvæmt skilgreiningunni á bls. 140 merkir að í punktinum (0,0) er lóðréttur snertill til fallsins.

28. dæmi: Hefur fallið U(x) lóðréttan snertil í punktinum (0,1) ? Færðu rök fyrir svarinu.

Efst á þessa síðu * Forsíða