Forsíða

2.1-Leiðbeiningar og lausnir (30.11.2001)

Dæmasafn á bls. 157:
Dæmi: 1, 4, 5, 9, 10, 12, 13

1. - 6.
dæmi:		 Notaðu skilgreiningu afleiðu til að reikna afleiðu fallsins.
Reiknaðu síðan gildi afleiðunnar í hinum tiltekna punnkti.
5. dæmi: Hér er skrifað f(x) í stað p(þeta) bæði til að hafa breytuheitin kunnuglegri og einnig vegna þess að lyklaborð ritarans hefur ekki þetu þægilega tiltæka.
Fallið er f(x) = (3x)0,5
Ritum það svona:
f(x) = 3 0,5 x 0,5
Líttu á bls. 148 þar sem þar notuð er skilgreining afleiðu til að reikna afleiðu fallsins f(x) = x 0,5.
Niðurstöðuna fyrir þetta fall í þessu dæmi færðu með því að margfalda útkomuna þar með 3 0,5.
Niðurstaðan verður: f'(x) = 3 0,5/[2x 0,5]

Reikna jöfnu snertilsins í punktinum P(1/4 ; f(1/4)) = (1/4 ; 30,5/2)
Hallatalan fæst með því að setja x = 1/4 í hallatölu-jöfnuna:
f'(1/4) = 3 0,5/[2(1/4) 0,5] = 3 0,5

Jafna snertilsins er þá þessi:
y - 30,5/2 = 3 0,5 (x - 1/4) sem einfaldast í:

y = x * 3 0,5 + 3 0,5/4.

7. - 10.
dæmi:		 Reiknaðu fyrstu og aðra afleiðu fallsins.
11. - 12.
dæmi:		 Reiknaðu allar afleiður (fyrstu, aðra, þriðju, osfrv) fallsins.
13. dæmi: Fallið er y = x3 - 4x + 1

  • a) Reiknaðu jöfnu snertils til fallsins í P (2,1).
    Leiðbeining:
    (1) Reiknaðu afleiðuna.
    (2) Hallatala snertilsins er f'(2).
    (3) Skrifaðu upp jöfnuna og einfaldaðu hana á formið y = kx + m.
  • b) Hvert er varpmengi afleiðufallsins?
  • c) Reiknaðu jöfnu snertils til fallsins þar sem halli snertilsins er 8.
    Leiðbeining:
    (1) Leystu jöfnuna: f'(x) = 8
    (2) Þau x-gildi sem þú fannst í (b) eru x-gildi þeirra punkta sem um er að ræða. Reiknaðu hnit þeirra.
    (3) Nú er aðeins eftir að skrifa upp jöfnur snertlanna. Punktarnir eru þekktir og hallatalan er 8 í hverjum þeirra.
14. dæmi: a) Reiknaðu jöfnu lárétts snertils til fallsins y = x -3 x0,5

b) Hvert er varpmengi afleiðu fallsins?

15. - 18.
dæmi:		 Tengdu saman graf fallsins og grafið af afleiðu þess á mynd 2.11
19. dæmi: Skoðaðu graf fallsins á mynd 2.12 og segðu í hvaða punkti eða punktum á bilinu [-4.6] afleiðan er ekki skilgreind. Rökstyddu svarið.
20. dæmi: a) Notaðu eftirfarandi leiðbeiningar til að rissa graf fallsins f(x) á bilinu [-2,5]:
(i) Grafið er beinar línur sem tengjast.
(ii) Grafið hefst í punktinum P(-2,3).
(iii) Afleiða fallsins er þrepafallið á mynd 2.13.

b) Sama verkefni og í a-lið með þeirri breytingu að fallið hefst í punktinum (-2,0).

21. - 22.
dæmi:		 Berðu saman hægri og vinstri markgildi fallsins til að sýna að það er ekki afleiðanlegt í punktinum P.
23. - 26.
dæmi:		 Skoðaðu graf fallsins.
Í hvaða punkti - eða punktum - virðist fallið vera:
a) afleiðanlegt?
b) samfellt en ekki afleiðanlegt?
c) hvorki samfellt né afleiðanlegt?
27. - 30.
dæmi:		 a) Reiknaðu afleiðuna y' = f'(x)

b) Teiknaðu graf f(x) og f'(x) hlið við hlið í sitt hvort hnitakerfið og svaraðu eftirfarandi spurningum:
c) Í hvaða x-gildum er y' pósitífur, negatífur eða núll?
d) Í hvaða x-gilda-bilum er fallið f(x) að vaxa þegar x vex og minnka þegar x minnkar? Hvernig tengist þetta því sem þú fannst út í c-liðnum?

31. dæmi: Hefur ferill fallsins y = x3 einhvers staðar negatívan halla? Hvar þá? Rökstyddu svarið.
32. dæmi: Hefur fallið y = 2 x0,5 einhvers staðar láréttan snertil? Hvar þá? Rökstyddu svarið.

Efst á þessa síðu * Forsíða