GÓP-fréttir

Forsíða	2.2-Leiðbeiningar og lausnir (18.11.2001) Dæmasafn á bls. 169:
1. - 4. dæmi:	Gefið er fallið s = f(t) sem sýnir staðsetningu hlutar (s metrar á lóðrétta s-ásnum) eftir t-mínútna langa ferð eftir lárétta t-ásnum. (a) Reiknaðu vegalengdina sem hluturinn hefur farið á tímabilinu. (b) Reiknaðau hraða hlutarins - og hröðun hans (hraðabreytingu) hans í endapunktunum tímabilsins. (c) Ef þú reiknar út að hluturinn breyti um stefnu á tímabilinu skaltu segja frá því og tiltaka hvenær það gerist.
2. dæmi:	s(t) = 6t - t² og tímabilið er 0 =< t =< 6. a) Færslan er s(6) - s(0) = 0 - 0 = 0 Meðalhraðinn er vegalengdin / tímanum = 0/6 = 0 metrar á sekúndu. b) Hraði hlutarins er afleidda fallið v(t) = 6 - 2t og hraðinn í upphafi er tölugildi hraðafallsins \|v(0)\| = 6 og hraðinn við lok tímans er á sama hátt \|v(6)\| = \|-6\| = 6 þótt hreyfingin sé í gagnstæða átt. Hröðun hlutarins er afleiða hraðafallsins: a(t) = -2 alls staðar á tímabilinu - þ.e. óháð t. Hröðunin er því líka -2 í upphafs- og endapunktinum. c) Í upphafi tímans fer hluturinn með hraðanum 6 m/s í pósitífa átt. Í lok tímans fer hann með hraðanum 6 m/s í gagnstæða átt. Á tímabilinu hlýtur hluturinn að minnsta kosti einu sinni að hafa hraðann 0. Við leitum að þeim tíma með jöfnunni v(t) = 6 - 2t = 0. Við leysum jöfnuna 6 - 2t = 0 og fáum aðeins eina lausn: t = 3 sem einmitt er á bilinu. Fallið v(t) er samfellt fall. Formerkisathugun á v(t) á tímabilinu er svona: tímabilið: 0 -- 1 -- 2 -- 3 -- 4 -- 5 -- 6 formerki: + + + ++ + + 0 - - - - - - - - - Af þessu sést að fyrstu 3 sekúndurnar hreyfist hluturinn í pósitífa átt en þegar 3 sekúndur hafa liðið hefur hluturinn hætt að færast í pósitífa átt og byrjar að hreyfast í negatíva átt og heldur því áfram út tímabilið. Niðurstaðan er þessi: Hluturinn skiptir um stefnu eftir 3 sekúndur.
5. dæmi:	Staðsetning hlutar (á s-ási) er s(t) = t³ - 6t² +9t (a) Reiknaðu hröðun hlutarins alls staðar þar sem hraði hans er núll. (b) Reiknaðu hraða hlutarins alls staðar þar sem hröðun hans er núll. (c) Reiknaðu vegalengdina sem hluturinn fer á tímabilinu [0,2].
6. dæmi:	Frá t=0 er hraði hlutar eftir s-ási v(t) = t² - 4t + 3 (a) Reiknaðu hröðun hlutarins alls staðar þar sem hraðinn er núll. Hraðinn er núll þegar v(t) = t² - 4t + 3 = 0. Leysum jöfnuna: t² - 4t + 3 = 0 og fáum lausnirnar t = 1 og t = 3. Hröðunin fæst af afleiðu hraðafallsins sem er a(t) = v'(t) = 2t - 4. Hröðunin þegar t = 1 er v'(1) = -2 og hröðunin í t = 3 er v'(3) = 2. . (b) Reiknaðu hvenær hluturinn hreyfist áfram og hvenær hann hreyfist aftur á bak. Formerkisathugun á v(t) frá tímanum t = 0 er svona: tímabilið: 0 -- 1 -- 2 -- 3 -- 4 -- 5 -- 6 formerki: + + 0 - - - - - 0 + + + + + + + Af þessu sést að hraðinn er í pósitífa átt fyrstu sekúnduna. Síðan fer hann í negatífa átt í tvær sekúndur en frá þriðju sekúndunni hryefist hann aftur í pósitífa átt. . (c) Reiknaðu hvenær hraði hlutarins er vaxandi og hvenær hraðinn er minnkandi. Það er hröðunarfallið sem lýsir breytingu hraðans. a(t) = 2t - 4 Formerkisathugun á a(t) frá tímanum t = 0 er svona: tímabilið: 0 -- 1 -- 2 -- 3 -- 4 -- 5 -- 6 formerki: - - - - - - 0 + + + + + + + + + Af þessu sést að hraðinn minnkar fyrstu tvær sekúndurnar en frá sekúndu 2 fer hann alltaf vaxandi.
7. dæmi:	Jöfnur frjálsra falla á Mars og Júpíter eru - þegar s er í metrum og t í sekúndum: s = 1,86 t² á Mars og s = 11,44 t² á Júpíter. Reiknaðu hversu langan tíma það tekur stein úr kyrrstöðu að falla uns hraði hans verður 27,8 m/sek á Mars? en á Júpíter?
8. dæmi:	Þegar steini er kastað upp í loft á tunglinu á upphafshraðanum 24 m/sek (um 86 km/klst) nær hæðinni s = 24 t - 0,8 t² metrar eftir t sekúndur. (a) Reiknaðu hraða steinsins og hröðun hans sem fall af t. (Hröðunin er þyngdarhröðun tunglsins.) (b) Reiknaðu hversu langan tíma það tekur steininn að ná hæstu stöðu. (c) Reiknaðu hversu hátt steinninn fer. (d) Reiknaðu hversu langan tíma það tekur steininn að komast hálfa leið í hæstu stöðu. (e) Hversu lengi helst steinninn á lofti?
9. dæmi:	Könnuðir á lítilli og loftlausri stjörnu notuðu gorma-skotbúnað til að skjóta upp bolta lóðrétt upp frá yfirborðinu á upphafshraðanum 15 m/sek. Þar sem þyngdarhröðunin á stjörnunni var g m/sek² gerðu þeir ráð fyrir að boltinn næði hæðinni s = 15 t - 0,5 g t² eftir t sekúndur. Boltinn reyndist ná hæstu stöðu 20 sekúndum eftir að honum var skotið upp. Reiknaðu g.
10. dæmi:	Ef 45 kalibera kúlu er skotið lóðrétt upp frá tunglinu mundi hún ná hæðinni s = 832 t - 2,6 t² á t sekúndum. Á jörðinni loftlausri mundi kúlan ná hæðinni s = 832 t - 16 t² eftir t sekúndur. Reiknaðu hversu lengi kúlan mundi haldast á lofti í hvoru tilfelli fyrir sig og hversu hátt hún færi.
11. dæmi:	Ef Galíleo hefði varpað fallbyssukúlu ofan úr skakka turninum í Pisa, í 179 feta hæð hefði hæð hennar yfir jörðu verið s = 179 - 16 t² eftir t sekúndur. (a) Reiknaðu hraðann og hröðunina sem fall af t. Athugaðu að hraðafallið er stefnubundið en hraðinn sjálfur er tölugildi þess. (b) Reiknaðu hve langan tíma hefði það tekið kúluna að komast niður á jörðina. (c) Reiknaðu hraðann sem þá hefði verið á kúlunni.
12. dæmi:	Galíleo fann formúlu sem lýsir hröðun hlutar í frjálsu falli. Hann notaði þá aðferð að láta kúlu renna niður skáplan með sífellt auknum halla og leitaði markgildis sem gæti lýst hröðuninni í frjálsu falli - þ.e. þegar skáplanið er orðið lóðrétt. Hann fann að fyrir hvern tiltekinn halla var hraði kúlunnar orðinn fast margfeldi af t eftir t sekúndur. Það merkir að formúla fallsins er v = k t þar sem k var háð halla skáplansins. Með þeirri framsetningu sem við notum var niðurstaða Galíleos v = 9,8 (sin u) t m/sek þar sem u er hvassa hornið sem skáplanið myndar við lárétta stöðu. (a) Hver er formúlan fyrir hraða kúlunnar í frjálsu falli? (b) Hvaða niðurstöðu má af þessu draga um þyngdarhröðunina við yfirborð jarðar?
12. - 19. dæmi:	Í þessum dæmum er hraðagraf notað til að draga ályktun um hreyfingu/færslu.
13. dæmi:	Myndin sýnir hraðafallið v = ds/dt = f(t) m/sek þegar hlutur færist eftir s-ásnum. (a) Hvenær skiptir hluturinn um færslustefnu? (b) Um það bil hvenær hreyfist hluturinn á föstum hraða? (c) Rissaðu graf sem sýnir hraða = \|v\| hlutarins þegar 0 < t < 10. (d) Rissaðu graf hröðunarinnar þar sem hún er skilgreind.
14. dæmi:	Hlutur færist eftir talnalínu eins og sýnt er á meðfylgjandi mynd (a). Mynd (b) sýnir stöðu punktsins P miðað við tímann t. (a) Hvenær hreyfist P til vinstri? Hvenær hreyfist P til hægri? Hvenær er P kyrr? (b) Rissaðu graf sem sýnir hraðafallið og annað sem sýnir hröðunina þar sem þessi föll eru skilgreind.
15. dæmi:	Þegar tilraunaflaug er skotið á loft brennur eldsneytið upp á nokkrum sekúndum og hraðar flauginni. Þegar það er upp urið heldur flaugin áfram upp um sinn uns hún stöðvast og byrjar svo að falla aftur til jarðar. Dálítil sprengihleðsla skýtur út fallhlíf stuttu eftir að flaugin tekur að falla til jarðar. Fallhífinni er ætlað að draga úr fallhraðanum svo flaugin skemmist ekki þegar hún lendir á jörðinni. Myndin sýnir hraðagraf flaugarinnar. Notaðu það til að svara eftirfarandi spurningum: (a) Hversu hratt hækkað flaugin sig þegar eldsneytið þraut? (b) Hversu lengi brann eldsneytið? (c) Hvenær náði flaugin mestri hæð? Hver var þá hraðinn? (d) Hvenær opnaðist fallhlífin? (e) Hveru lengi féll flaugin áður en fallhlífin opnaðist? (f) Hvenær var hröðun flaugarinnar mest? (g) Hvenær var hröðunin föst? Hve mikil var hún þá - um það bil?
16. dæmi:	Meðfylgjandi mynd sýnir s sem er staða flutningabíls á hraðbraut. Bíllinn leggur af stað þegar t = 0 og kemur aftur 15 klst síðar þegar t = 15. (a) Notaðu aðferðina í ex.9 á bls. 154 til að rissa graf hraðafallsins v = ds / dt þegar t er á bilinu [0,15]. Endurtaktu síðan sömu aðferð til að rissa graf hröðunarfallsins á sama bili. (b) Gerum ráð fyrir að s = 15 t² - t³. Rissaðu graf fallanna ds/dt og d²s/dt² og berðu þau saman við gröfin sem þú rissaðir upp í a-liðnum.
17. dæmi:	Meðfylgjandi fjöl-flassa-mynd sýnir tvo bolta falla úr kyrrstöðu. Lóðrétti kvarðinn er í sentimetrum. Notaðu formúluna s = 490 t² til að svara eftirfarandi spurningum: (a) Hversu langan tíma tók það boltana að falla fyrstu 160 sentimetrana? Hver var meðalhraði þeirra á þeirri vegalengd? (b) Hversu hratt féllu boltarnir þegar þeir náðu 160-sentimetra markinu? Hver var hröðun þeirra þá? (c) Um það bil hversu títt kom flassið? (Hversu mörg flöss á sekúndu?)
18. dæmi:	Gröfin á mynd 2.22 sýna stöðufallið s(t), hraðafallið v(t) = ds/dt og hröðunarfallið a(t) = d²s/dt² hlutar sem færist eftir s-ásnum á tímanum t. Þetta eru þrjú föll og þrjú gröf. Hver þeirra eiga saman?
19. dæmi:	Gröfin á mynd 2.23 sýna stöðufallið s(t), hraðafallið v(t) = ds/dt og hröðunarfallið a(t) = d²s/dt² hlutar sem færist eftir s-ásnum á tímanum t. Þetta eru þrjú föll og þrjú gröf. Hver þeirra eiga saman?
20. dæmi:	Setjum svo að kostnaðurinn við að framleiða x þvottavélar sé c(x) = 2000 + 100x - 0,1 x² (a) Reiknaðu meðalkostnaðinn við framleiðslu hverrar vélar af 100 fyrstu vélunum. (b) Reiknaðu kostnaðarvöxturinn - þ.e. marginalinn, þegar x = 100. (c) Sýndu að þegar x=100 er kostnaðarvöxturinn um það bil jafn kostnaðinum við að framleiða vél númer 101 - með því að reikna þann kostnað beint úr formúlunni.
21. dæmi:	Gerum ráð fyrir að arðurinn af því að selja x þvottavélar sé r(x) = 20.000 (1 - 1/x) dollarar. (a) Reiknaðu arð-vöxtinn þegar framleiddar eru 100 vélar. (b) Notaðu fallið r'(x) til að reikna arðaukninguna við það að auka framleiðsluna úr 100 í 101 vél á viku. (c) Reiknaðu lim _x-<oo r'(x). Hvaða merkingu leggurðu í útkomuna?
22. dæmi:	Þegar bakteríudrepandi efni var sett í bakteríurækt fjölgaði bakteríunum fyrst en siðan hætti þeim að fjölga og svo fór þeim að fækka. Fjöldi þeirra reyndist fylgja fallinu b(t) = 10⁶ + 10⁴t - 10³t² þar sem t er klukkustundir. Reiknaðu fjölgunina þegar t = 0 klst. t = 5 klst. t = 10 klst.
23. dæmi:	Magn vökva í tanki var í gallonum Q(t) = 200(30 - t)² t mínútum eftir að opnað var fyrir kranann. Hversu hratt rann vökvinn út þegar 10 mínútur höfðu liðið? Hvert var meðalrennslið fyrstu 10 mínúturnar?
24. dæmi:	Það tekur 12 klukkustundir að að tæma tank með því að opna botnlokann. Dýpi vökvans í tanknum t klukkustundum eftir að opnað hefur verið er y(t) = 6(1 - t/12)² metrar. (a) Reiknaðun hraðafallið dy/dt sem sýnir hversu hratt yfirborðið lækkar. (b) Reiknaðu hvenær yfirborðið fellur hraðast og hvenær það fellur hægast og reiknaðu hver þá eru gildin á dy/dt.
25. dæmi:	Rúmmál kúlulaga blöðru er V(r) = (4/3) pí r³ og breytingin er háð því hvernig radíusinn breytist. (a) Reiknaðu hversu hratt rúmmálið breytist þegar r = 2 fet. (b) Hversu mikið (um það bil) vex rúmmálið þegar radíusinn lengist úr 2 fetum í 2,2 fet ?
26. dæmi:	Gerum ráð fyrir að flugvél fari d(t) = (10/9)t² metra eftir flugbrautinni á t sekúndum frá því bremsum er sleppt uns hún hefur sig á loft. Flugtakshraðinn er 200 km/klst. Reiknaðu hversu langan tíma það tekur fyrir flugvélina að hafa sig til flugs og hversu langt hún þá hefur farið eftir brautinni.
27. dæmi:	Þó að gosið í Kilauea Iki á Hawaii sem hófst í nóvember 1959 byrjaði í brunnaröð við gígvegginn einskorðaðist eldvirknin síðar við eitt op í botni gígsins. Einu sinni sprautaðist hraunbuna upp úr opinu heil 1900 fet í loft upp. Þetta er það mesta sem mælst hefur. Reiknaðu upphafshraða hraunsins þegar það skaust upp úr opinu í fetum á sekúndu. Þú skalt ekki gera ráð fyrir loftmótstöðunni við útreikningana. Athugaðu að ef v_o er upphafshraðinn er hæðin t sekúndum síðar orðin s(t) = v_ot - 16 t² fet. Byrjaðu á að reikna hvenær ds/dt = 0.
28. - 31. dæmi:	Formúlan gefur stöðu hlutar sem hreyfist eftir s-ásnum á tímanum t. Rissaðu saman gröf fallanna s = f(t) og v(t) = ds/dt = f'(t) og hröðunarfallið a(t) = d²s/dt² = f''(t). Gerðu skriflega grein fyrir ferða-hegðun hlutarins miðað við formerki fallanna og gildanna á v og a. Nefndu sérstaklega eftirtalin atriði: (a) Hvenær er hluturinn í kyrrstöðu? (b) Hvenær færist hluturinn til vinstri/niður eða til hægri/upp? (c) Hvenær breytir hluturinn um stefnu? (d) Hvenær eykst hraðinn og hvenær minnkar hann? (e) Hvenær hreyfist hann hraðast? og hvenær hreyfist hann hægast? (f) Hvenær er hann fjærst upphafspunktinum?
32. dæmi:	Kapphlaupahestur rennur 10 ferlengda (furlong = 220 yards = 0,125 mílur) skeið. Þegar hann fer framhjá hverju einstku ferlengda-marki skráir knapinn hjá sér hversu langan tíma það hefur tekið hann að komast þangað. þannig verður til hjá honum taflan sem upp er gefin. (a) Hversu langan tíma tekur það hestinn að ljúka skeiðinu? (b) Hver er meðalhraðinn fyrstu 5 ferlengdirnar? (c) Hver er hraðinn (um það bil) þegar hesturinn fer hjá 3-ferlengda markinu? (d) Hvenær hleypur hesturinn hraðast? (e) Hvenær eykur hesturinn hraðann mest?

Efst á þessa síðu * Forsíða

2.2-Leiðbeiningar og lausnir (18.11.2001)