Forsíða

2.3-Leiðbeiningar og lausnir (23.11.2001)

Dæmasafn á bls. 178:
Dæmi: 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 21, 22.

1. - 4.
dæmi:		 Reiknaðu fyrstu og aðra afleiðu.
5. - 6.
dæmi:		 a) Reiknaðu afleiðuna með því að nota regluna um afleiðu margfeldis.
b) Reiknaðu afleiðuna með því að margfalda fyrst svigana saman og einfalda svarið og reikna síðan afleiðu hvers liðs fyrir sig.
7. - 14.
dæmi:		 Reiknaðu afleiðuna.
15. - 18.
dæmi:		 Reiknaðu fyrstu og aðra afleiðu.
19. dæmi: Tiltekið er að u og v eru afleiðanleg föll. Notaðu gefnu gildin til að reikna gildi afleiðanna þegar x = 0.
20. dæmi: Tiltekið er að u og v eru afleiðanleg föll. Notaðu gefnu gildin til að reikna gildi afleiðanna þegar x = 1.
21. dæmi: Reiknaðu jöfnu snertlanna við Newton-snákinn í punktunum (0,0) og (1,2).
22. dæmi: Reiknaðu jöfnu snertils við Agnesi-nornina í punktinum (2,1).
23. dæmi: Ferill fallsins y = ax2 + bx + c fer í gegnum punktinn (1,2) og í punktinum (0,0) snertir hún línuna y = x. Reiknaðu gildin á a, b og c.

Lausn:

  • Ferill fallsins fer í gegnum (0,0) sem merkir að f(0) = 0 svo að f(0) = a * 0 + b * 0 + c = 0 sem gefur c = 0. Það merkir að fallið er þá skrifað svona: y = ax2 + bx.
  • Fallið fer í gegnum punktinn (1,2) sem merkir að f(1) = 2 svo að f(1) = a * 1 + b * 1 = 2 sem gefur a + b = 2.
  • Vitað er að snertill til fallsins í (0,0) er samsíða línunni y = x sem hefur hallatöluna 1.
    Afleiða fallsins er f'(x) = 2ax + b og f'(0) = 2a*0 + b = 1 sem gefur b = 1.
  • Þar sem a + b = 2 og b = 1 þá er a = 1.
    Lausnin er: {a,b,c} = {1,1,0} og fallið er í raun y = x2 + x.
24. dæmi: Ferlar fallanna y = x2 + ax + b og y = cx - x2 hafa sameiginlegan snertil í punktinum (1,0). Reiknaðu gildin á a, b og c.
25. dæmi: Afleiðuregla margfeldis er svona: (uv)' = u'v + uv'.
Gerum ráð fyrir að fallið v sé fastinn c og skrifist svona: v = c.
Reiknaðu svo afleiðuna (uv)' og berðu niðurstöðuna saman við afleiðuregluna þegar fall er margfaldað með fastanum c - en hún er svona: (cu)' = cu'.
26. dæmi: Um orðalag:
Reciprocal merkir hér margföldunarandhverfa.
Dæmi: Talan 7 á sér margföldunarandhverfuna 1/7 og þegar þær tvær eru margfaldaðar saman kemur út 1.
Þegar ekki fer á milli mála að verið er að ræða um afleiðureikning, þ.e. diffrun, styttum við heitin á reglunum um útreikning afleiðu summu, margfeldis og deildar = kvóta tveggja falla og köllum þær summureglu, margfeldisreglu og kvótareglu.

(a) Reglan um afleiðu margföldunarandhverfu fallsins v(x) er svona:
d/dx (1/v) = - 1/v2 du/dx
sem með einföldum hætti má skrifa svona:
(v-1)' = - v-2 * v'
Sýndu með reikningi að reglan um afleiðu margföldunarandhverfunnar er í samræmi við kvótaregluna - þ.e. regluna um (u/v)'.

(b) Sýndu með reikningi að reglan um afleiðu margföldunarandhverfu ásamt margfeldisreglunni leiði til kvótareglunnar.

27. dæmi: Útvíkkun margfeldisreglunnar.

(a) Notaðu margfeldisregluna um (uv)' til að leiða út margfeldisreglu sem gildir um (uvw)'.

  • Lausn:
    Lítum á (uvw) sem ([uv]w) og diffrum margfeldið svona:
    A: ([uv]w)' = [uv]'w + [uv]w'
    Við eigum eftir að reikna [uv]' og reiknum það nú eftir margfeldisreglunni:
    [uv]' = u'v + uv' og setjum þetta inn í A um leið og við skrifum nú aftur [uv] sem uv og fáum:
    (uvw)' = ([uv]w)' = [uv]'w + [uv]w' = (u'v + uv')w + uvw' eða:
    (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'

(b) Hvernig mun hún líta út margfeldisreglan fyrir föllin fjögur: (u1u2u3u4)' ?

  • Sama aðferð og í a-lið en nú ritum við
    B: (uvwz)' = ([uvw]z)' = [uvw]'z + [uvw]z'
    Notum svo niðurstöðu a-liðs til að skrifa
    [uvw]' = u'vw + uv'w + uvw' og setjum það inn í B. Niðurstaðan verður:
    (uvwz)' = ([uvw]z)' = [u'vw + uv'w + uvw']z + [uvw]z' eða
    (uvwz)' = u'vwz + uv'wz + uvw'z + uvwz'.

(c) Hvernig er margfeldisreglan fyrir n föll margfölduð saman - þar sem n er endanleg heil tala?

  • Ljóst er að afleiða margfeldis fimm falla mun fá sama svip og einnig margfeldi sex falla. Niðurstaðan verður summa liða sem hver um sig er margfeldið af afleiðu eins fallsins og öllum hinum. Liðirnir verða jafnmargir föllunum.
28. dæmi: Þegar veldið er ræð tala - en ekki bara heil tala.

(a) Reiknaðu (x3/2)' með því að nota margfeldisregluna á x * x1/2
Notaðu exampel 1 á bls. 148 til að reikna afleiðuna af x1/2.

(c - d) Notaðu sömu aðferð til að reikna afleiðurnar í c-lið og d-lið.

(e) Hvaða regla virðist hér birtast um afleiðu fallsins (xn/2) þegar n er heil og pósitíf oddatala?

29. dæmi: Ef lofttegund er haldið undir stöðugum þrýstingi er þrýstingurinn P háður rúmmálinu V eins og lýst er í jöfnunni: P = (nRT)/(V-nb) -(an2)/(V2) þar sem a, b, n og R eru fastar. Reiknaðu P'(V).
30. dæmi: Ein af reglum birgðahalds segir að meðalkostnaður á viku við að panta, greiða og geyma vöru sé gefinn með jöfnunni:

A(q) = km/q + cm + hq/2

þar sem q er magnið sem panta skal, k er pöntunarkostnaðurinn, c er hið fasta einingarverð, fastinn m er fjöldi seldra eininga á viku og h er hinn fasti vikulegi geymslukostnaður sem innifelur atriði eins og rými, tæki, tryggingar og eftirlit.

Reiknaðu dA/dq og d2/dq2 - þ.e.: A' og A''.

Efst á þessa síðu * Forsíða