Áfangamarkmið í STÆ-3003

Yfirlit yfir þau atriði sem ætlast er til að nemendur hafi á valdi sínu þegar þeir

• hefja nám í þessum áfanga (forkröfur).
• ljúka námi í þessum áfanga (námsmarkmið).

Forkröfur:

Mengi, stærðtákn, reikniregla, N, Z, Q, R, talnalína, pósitíf tala, negatíf tala, summa, margfeldi, hlutleysa við reikningsaðgerð, andhverfa við reikningsaðgerð, jafna, jöfnuhneppi, brot, teljari, nefnari, lenging brots, stytting brots, stæða, einföldun stæðu, ójafna, misjafna, tölugildi, kveikjari tölugildis, hnit, láhnit, lóðhnit, rétthyrnt hnitakerfi, upphafspunktur hnitakerfis, veldi, veldisvísir, graf, hlutföll, prósentur, rétthyrningur, þríhyrningur, flatarmál, jafna beinnar línu, graf beinnar línu, gráðumál horna, frændhorn, lagshorn, sjónarhorn, hornasumma þríhyrnings, sínus af horni, kósínus af horni, tangens af horni, kótangens af horni.

Í áfanganum STÆ-3003:

Forkröfur:

• reglurnar:
  (a+b)² = a² + 2ab + b²
  (a-b)² = a² - 2ab + b²
  a² - b² = (a+b)(a-b)
• reiknireglur ræðu talnanna og þeirra stærðfræðitákna sem standa fyrir ræðar tölur (t.d. bókstafastærðtákna),
• aðferðir til að einfalda og reikna almenn brot sem rituð eru með tölum eða/og bókstöfum, þar með talið að reikna samnefnara,
• veldareglurnar,
• ójöfnureglurnar,
• aðferðir og reiknireglur til að leysa fyrsta stigs jöfnur,
• aðferðir og reiknireglur til að leysa jöfnuhneppi þar sem breytistærðir (óþekktar stærðir) eru tvær, þrjár eða fjórar,
• aðferðir og reiknireglur til að leysa annars stigs jöfnur,
• samband hallatalna innbyrðis hornréttra lína.

• jöfnuform beinnar línu:
  p-h-formið = punkt-halla-formið: y = m(x - x_o) + y_o þegar punkturinn (x_o , y_o) er þekktur punktur á línunni og m er þekkt hallatala hennar.
  h-h-formið = hæðar-halla-formið: y = m x + b
  almenna formið = Ax + By = C

• skráningu opinna, hálfopinna og lokaðra bila,
• útlit grafa fyrsta stigs jöfnu og annars stigs jöfnu og þriðja stigs jöfnu,
• einkenni slétts falls og einkenni oddafalls,
• aðferð til að hnika grafi falls lárétt og lóðrétt

• veldareglurnar þegar a og b eru pósitífar rauntölur:
  1) a^{x .} a^y = a^x+y
  2) a^x / a^y = a^x-y
  3) (a^x)^y = a^xy
  4) a^{x .} b^x = (ab)^x
  5) a^x / b^x = (a/b)^x   
• útlit fallsins y = a^x fyrir mismunandi gildi á a,

• andhverfuprófið, þ.e. aðferð til að kanna hvort fvö föll eru innbyrðis andhverf,
• aðferðir til að reikna andhverfu tiltekins falls,
• aðferðir til að teikna graf falls sem er andhverft við annað þekkt fall.
• andhverfusamband veldisfalls og tilheyrandi logaritmafalls,
• sambandið: log_e(x) = ln(x) og log₁₀(x) = log(x)
• sambandið: _a^loga^(x) _{= x}  
  og log_aa^x = x þegar a og x > 0 og a <> 1,
• sambandið: e^ln(x) = x og ln(e^x) = x þegar x > 0,
• logaritmareglurnar:
  margfeldisreglan: log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)
  kvótareglan: log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)  
  veldisreglan: log_a(x^y) = y^.log_a(x)
• sambandið: a^x = e^{x ln(a)} og ln(a)^. log_a(x) = ln(x)

• sambandið: cos²(x) + sin²(x) = 1
• samlagningarreglur hornafalla:
  cos(A+B) = cosA cosB - sinA sinB
  sin(A+B) = sinA cosB + cosA sinB
• reglurnar um hálfa hornið:
  cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)
  sin(2x) = 2^. sin(x)^.cos(x)
• kósínusregluna:
  c² = a² + b² - 2ab^.cosC
• Gildi hornafallanna í eftirlætisþríhyrningum einingarhringsins,
• gröf hornafallanna sin(x), cos(x) og tan(x),

• markgildareglurnar: summureglan, mismunareglan, margfeldisreglan fastareglan, kvótareglan, veldisreglan,
• aðferð til að reikna markgildi margliðu,
• aðferðir til að reikna markgildi ræðra falla með því að finna eða/og búa til þætti í nefnara sem stefna á núll og stytta þá út,
• aðferðir til að beita samlokureglunni til að reikna markgildi samlokaðrar stæðu,

• markgildisreglurnar þegar x stefnir á óendanlegt,

• samfelldni-reglurnar:um samfelldni summu, mismunar, margfeldis, margfeldis með fasta og kvóta samfelldra falla, 
• samfelldnisprófið,
• regluna um samfelldni samsetnings samfelldra falla,
• meðalgildisregluna og afleiðingar hennar við teiknun grafs og leit að núllstöðvum,

• skilgreiningu hallatölu snertils til fallsins f(x): m = lim_h->0[f(x_o+h) - f(x_o)]/h
• aðferð/vinnuferli til að reikna hallatölu og jöfnu snertils í tilteknum punkti,
• hvenær skrifa skal lim og hvenær ekki þegar markgildi er reiknað,

• skilgreiningu afleiðu: f'(x) = lim_h->0[f(x_o+h) - f(x_o)]/h
• fall sem er diffranlegt í punkti er samfellt í þeim punkti,
• afleiðurnar: D(k) = 0, D(xⁿ) = (n^.x^n-1), D(k^.xⁿ) = k^.n^.x^n-1, 
• regluna um afleiðu diffranlegs falls sem margfaldað er með fastanum k {D[k^.f(x)] = k^.f'(x)}
• regluna um afleiðu summu tveggja diffranlegra falla {D[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)}
• aðferð til að reikna hnit þess punkts á grafi fallsins f(x) þar sem snertill er láréttur,

• f'(x) er breytihraði fallsins f(x),
• aðferðir til að lesa merkingu úr grafi f'(x)

• reglurnar um afleiðu
  margfeldis: (uv)' = u'v + uv'
  kvóta: (u/v)' = (u'v - uv')/v²
  x í n-ta veld þegar x er pósitíf eða negatíf heiltalai: (xⁿ)' = n^.x^n-1

• afleiður hornafallanna:
  D(sin x) = cos x
  D(cos x) = - sin x
  D(tan x) = (cos x)^-2
  D(cot x) = -(sin x)^-2

• keðjuregluna um afleiðu samsetts falls:
  D(f(g(x)) = f'(g(x)) * g'(x)

• margfeldi hornatalna innbyrðis hornréttra lína er -1,
• m = (y - y_o) / (x - x_o) 
• sannað með sléttuprófi að fall sé slétt, með oddaprófi að fall sé odda eða hvorugt. 
• veldareglurnar. 
• leitt út regluna: cos²(x) + sin²(x) = 1
• sannað kósínus-regluna,
• leitt reglurnar um hálfa hornið og reglurnar um cos(A-B) og sin(A-B) út frá samlagningarreglunum,
• notað samlokuregluna til að sanna að lim_x->0 sin(x) / x = 1
• rökstutt afleiðingar meðalgildisreglunnar við teiknun grafs og leit að núllstöðvum,
• rökstutt að skilgreiningin á hallatölu snertils til fallsins f(x) í punktinu P(x_o,f(x_o)) sé raunverulega hallatala snertilsins,
• rökstutt að fall sé - eða sé ekki - diffranlegt í punkti,
• leitt út regluna um afleiðu margfeldis og regluna um afleiðu kvóta,
• leitt út afleiðureglurnar fyrir sin x og cos x með því að nota skilgreiningu afleiðu og reikna markgildið
• notað afleiðureglurnar fyrir sin x og cos x til að leiða út afleiðureglurnar fyrir tan x og cot x.
• sannað keðjuregluna með því að nota aðferðina í Appendix 3 á bls. 1150 eða eins og gert er í ábendingum í leiðbeiningunum: Keðjureglan - einföld útleiðsla 

Forkröfur:

• lagt saman, dregið frá, margfaldað og deilt með hvers konar heilum tölum, tugabrotum, almennum brotum og bókstafastærðtáknum, þar með talið deilt margliðu með margliðu,
• reiknað einföld hlutföll,
• reiknað prósentur af tölum og stærðtáknum,
• leyst jöfnur með einni breytistærð bæði uppsettar og óuppsettar,
• reiknað flatarmál rétthyrninga og þríhyrninga,
• fundið og sýnt mengi á talnalínu,
• skrifað summu sem margfeldi,
• skrifað margfeldi sem summu,
• einfaldað summur og margfeldi talna, brota og bókstafastæða,
• einfaldað veldastæður,
• eytt smábrotum brotabrots,
• leyst jöfnuhneppi með tveimur og með þremur breytistærðum,
• búið til jöfnuvensl milli línulega tengdra stærða (t.d. hraði, vegalengd, tími eða einingafjöldi, heildarverð, einingarverð - osfrv.),
• sett upp óuppsettar jöfnur með einni og með tveimur breytistærðum,
• leyst ójöfnur,
• leyst jöfnur og ójöfnur sem innihalda tölugildi og notað til þess talnalínuaðferðina og kveikjara,
• teiknað í hnitakerfi punktmengið (x,y) þar sem y=f(x),
• reiknað jöfnu beinnar línu þegar þekktir eru:
  - tveir punktar á henni,
  - einn punktur á henni og hallatala hennar,
• þáttað annars stigs algebrustæður í margfeldi tveggja þátta sem hvor um sig er eins- eða fleirliða,
• notað skilgreiningar, reglur og útleiðslur (sannanir) kennslutexta til að reikna réttmæti fullyrðinga um að ein stæða sé jafngild annarri. 

• reiknað jöfnu beinnar línu þegar þekktir eru:
  - tveir punktar á henni,
  - einn punktur á henni og hallatala hennar,
  - einn punktur á henni og hallatala þeirrar línu sem er hornrétt á hana,
• reiknað hnit skurðpunkts tveggja beinna lína,
• kannað jöfnu beinnar línu,
• teiknað graf beinnar línu þegar:
  jafna hennar er gefin,
  eða tveir punktar á henni,
  eða einn punktur og hallatala hennar.

• reiknað og skráð formengi og varpmengi falls þegar formúla þess er gefin,
• teiknað graf fyrsta stigs, annars strigs eða þriðja stigs margliðu með því að þekkja almennan svip slíks grafs og reikna 2 - 3 punkta að meðtöldum skurðpunktum við ásana,
• reiknað jöfnu falls eftir lóðrétta og lárétta hnikun grafs þess,
• reiknað formúlu falls sem samsett er úr tveimur föllum með þekktar formúlur,
• reiknað formúlur falla sem  samsett skila þekktri formúlu.

• teiknað graf veldisfalls og reiknað formengi og varpmengi,
• umritað formúlu veldisfalls til breyttrar grunntölu,
• reiknað formúlu veldisfallsins f(x) = k ^. a^x þegar þekktir eru tveir punktar á grafi fallsins,
• reiknað lausn/lausnir einfaldrar veldisjöfnu,
• skrifað jöfnu vaxtar eða rýrnunar og reiknað áhrifin eftir tiltekinn tíma eða hversu langan tíma tiltekin breyting hefur orðið svo sem bakteríufjölgun, geislun, vextir, rýrnun, fækkun.

• reiknað hvort fall er einkvæmt,
• reiknað hvort tvö föll eru innbyrðis andhverf,
• teiknað graf falls sem er andhverft við fall sem þekktu grafi, (t.d.: graf falls er gefið í hnitakerfi og nemandi á þá að geta teiknað samsvarandi graf andhverfa fallsins),
• reiknað formúlu falls sem er andhverft tilteknu falli með þekkta (og meðfærilega) formúlu,
• notað logaritmareglur og sambönd til að reikna lausnir logaritma- og veldajafna,
• teiknað gröf veldisfalla og logaritmafalla,
• reiknað tvövöldunartíma og helmingunartíma þegar samböndin eru tiltekin í jöfnum og búið slíkar jöfnur til þegar grunnatriði eru þekkt.

• reiknað öll hornaföll horns ef eitt hornafall þess er tiltekið,
• reiknað öll þau horn sem hafa tiltekið hornafall,
• reiknað með vasatölvu stærð horns og öll önnur hornaföll þess þegar eitt hornafall þess er gefið,
• teiknað gröf ósamsettra hornafalla með mismunandi útslætti, tíðni, lotulengd og lóðréttri og láréttri hnikun,
• reiknað radíanmál horns sem upp er gefið í gráðum og öfugt,
• reiknað lausnir einfaldra hornafallajafna,
• notað samlagningarreglur hornafalla til að ganga úr skugga um hvort tilteknar hornafallastæður eru jafngildar.

• notað vegalengdarfall til að reikna meðalhraða á tilteknu tímaskeiði,
• notað vegalengdarfall til að reikna augnablikshraða sem meðalhraða á tímaskeiði sem er svo stutt að það er næstum núll,
• reiknað hallatölu snertils við fall með sama hætti og augnablikshraða.

• ákveðið hvort tiltekið graf er hefur markgildi í tilteknum punkti,
• notað markgildisreglurnar til að einfalda markgildareikninga,
• reiknað markgildi ræðra falla þegar x stefnir á tiltekið gildi,
• notað samlokuregluna til að ákvarða markgildi samlokaðs falls í tilteknu x-gildi,

• reiknað markgildi ræðra falla þegar stig margliðu í teljara lægra en, jafnhátt og hærra en stig margliðu í nefnara,
• reiknað jöfnu aðfellu - t.d. með margliðudeilingu - þegar stig margliðu í teljara er einum hærra en stig margliðu í nefnara, 
• kannað ræða fallið f(x) sem hefur eitt eða fleiri banngildi,
  (sjá hér nánar um könnun falla)

• notað samfelldnisprófið til að ákvarða hvort fall er samfellt í punkti/punktum eða/og á bili/bilum,

• notað skilgreiningu hallatölunnar til að reikna hallatölu snertils til f(x) í tilteknum punkti,

• reiknað afleiðu margliðu,
• reiknað hallatölu og jöfnu snertils til margliðu í tilteknum punkti,
  (sjá hér nánar um könnun falla)

• fundið breytihraða, hraða, hröðun og hröðunarbreytingu með diffrun,

• notað afleiðureglurnar til að reikna afleiður,

• Notað afleiðureglur hornafallanna til að reikna afleiður hornafallastæða.

 Kannað ræð föll með eftirfarandi áætlun: 

1. banngildi,
   markgildi f(x) þegar x stefnir á banngildi ofan frá og neðan,
   markgildi f(x) þegar x stefnir á plús og mínus óendanlegt,
   ofan frá og neðan,
   formengi, aðfellur,
2. hvers vegna er f(x) - eða er ekki - oddafall eða slétt fall?
3. reikna núllstöðvar í f(x),
4. formerkisathugun á f(x) leiðir í ljós hvar f(x) er pósitíf og hvar negatíf,
5. > athugun á f(x) með hjálp fyrstu afleiðu:
   > reikna f’(x) og núllstöðvar í f’(x),
   > formerkisathugun á f’(x) leiðir í ljós hvar f(x) er vaxandi og hvar minnkandi og hvar eru hápunktar og lágpunktar,
6. > > athugun á f(x) með hjálp annarar afleiðu:
   > > reikna f’’(x) og núllstöðvar í f’’(x),
   > > formerkisathugun á f’’(x) leiðir í ljós hvernig beygjur og beygjuskil f(x) eru,
7. skurðpunktur við y-ás,
8. > > > ef um sérstakt bil er að ræða: hnit punktanna í endum bilsins,
9. reikna hnit nokkurra stýripunkta og teikna graf f(x),
10. reikna hæsta og lægsta gildi f(x) og varpmengið.