Forsíða


Reiknitorg * Til baka í efnisyfirlit algebru Óla Dan 

Algebra - Æfing  IX - svör
 Óuppsettar jöfnur

Sendu mér póst ef þú finnur villur! 

1.
 Gullkóróna Híerós konungs í Sýracúsu vó 20 mínur en var blönduð silfri. Arkimedes fann að þegar hann vó hana í vatni léttist hún um 1/16 af þyngd sinni. Hve mikið var af hvorum málmanna í kórónunni? Gull léttist um  1/20  þegar það er vegið í vatni en silfur um  1/10 .

Lausn:
Gull-mínur voru x
Silfur-mínur eru (20 - x)
Textinn segir:
Létting gullsins + létting silfursins = heildarléttingin
sem er jafnan:
x/20 + (20-x)/10 = 20/16
sem lagað verður 8x = 120 sem gefur x = 15 gull-mínur og þá eru silfur-mínurnar 5

2.
A og B fóru í kaupstað og höfðu klyfjar á 11 hestum alls. A hafði 80 kg. á hverjum hesti. B hafði 200 kg. minna meðferðis en hafði 90 kg. á hverjum hesti. Hve marga hafði hvor undir klyfjum?

Lausn:
A hafði x hesta
B hafði (11 - x) hesta
Flutningur A var 200 kg meiri en flutningur B - sem verður að jöfnunni:
80x - 200 = 90(11 - x) sem lagað verður 170x = 1190 sem gefur x = 7 og hestar B eru þá 4. 

3.
 Hvernig á að skipta 100 kr. þannig milli þriggja manna, A, B og C, að A fái helmingi minna en B og 4 kr. minna en C?

Lausn:
A fær x
B fær 2x
C fær x + 4
Summan er 100 svo jafnan verður:
x + 2x + x + 4 = 100 sem gefur x = 24, B fær 48 og C fær 28.

4.
Maður nokkur keypti hest, hnakk og beisli fyrir 540 kr. Hnakkurinn og beislið kostaði hvort tveggja helming hestverðsins en hnakkurinn var 100 kr. dýrari en beislið. Hve mikið kostaði hvert um sig?

Lausn:
Beislið kostaði x
Hnakkurinn kostaði x + 100
Hesturinn kostaði 540 - [x + (x + 100)]
en helmingur þess er einmitt [x + (x + 100)] sem gefur jöfnuna:
{540 - [x + (x + 100)]}/2 = [x + (x + 100)] 
sem einfaldað verður 6x = 240   sem gefur x = 40, hnakkurinn kostar þá 140 og hesturinn 360.

5.
 A og B keyptu sinn hestinn hvor. B borgaði sinn hest alveg. Hestur A var 30 kr. dýrari en hann borgaði 60 kr. minna en B og skuldaði þá þriðjung verðsins. Hve dýrir voru hestarnir?

Lausn:
Hestur A kostar x
Hestur B kostar x - 30
A greiddi (x - 30) - 60 og skuldaði þá x/3 sem myndar jöfnuna:
(x - 30) - 60 + x/3 = x sem gefur x = 270 og hestur B kostaði 240. 

6.
 A er nú  1/4 yngri B en fyrir 7 árum var hann  1/3 yngri. Hve gamlir eru þeir? 

Lausn:
B er x ára
A er 3x/4 ára
fyrir 7 árum var B (x - 7) ára
og A var þá 2(x-7)/3 ára en hann var þá líka 3x/4 - 7 ára - 
sem myndar jöfnuna:
2(x-7)/3 = 3x/4 - 7 sem gefur x = 28 og A er þá 21 árs.

7.
 Maður nokkur keypti byggkorn fyrir 2706,54 kr. og jafn mikið af rúgi fyrir 2844 kr. Hann gaf 58 aurum meira fyrir rúgtunnuna heldur en byggtunnuna. Hve mikið kostaði tunnan af hvorri korntegundinni?

Lausn:
Byggtunnan kostaði x kr
Rúgtunnan kostaði (x + 0,58) kr
Tunnurnar eru jafnmargar:
2706,54/x = 2844/(x + 0,58) 
em einfaldað gefur x = (2706,54 * 0,58)/137,46
sem gefur x = 11,42 og rúgtunnan kostar þá 12 kr. 

8.
Skiptu tölunni 198 í tvo hluti þannig að ef  2/5 af stærri hlutanum eru dregnir frá þeim minni verði sami afgangur eins og þegar  3/7 af minni hlutanum eru dregnir frá þeim stærri.

Lausn:
Stærri hlutinn er x
Minni hlutinn er 198 - x
(198 - x) - 2x/5 = x - 3(198 - x)/7
sem einfaldað verður 99x = 9900 sem gefur x = 100 og minni hlutinn er þá 98.

9.
Strákur keypti kökur í búð og fékk 4 kökur fyrir hverja 5 aura. Síðan seldi hann öðrum strákum allar kökurnar og seldi 2 kökur fyrir 3 aura. Á þessu græddi hann 50 aura. Hve margar kökur keypti hann?

Lausn:
Hann keypti x kökur.
Hann greiddi x/4 * 5 aura fyrir þær allar.
Hann seldi þær á x/2 * 3 og fékk þá 50 aurum meira.
Jafnan er því svona:
x/4 * 5 + 50 = x/2 * 3 sem gefur x = 200

10.
 Maður nokkur keypti vöru og seldi hana aftur með 35 % gróða. Vantaði þá 13 kr. til þess að söluverðið væri tvöfalt kaupverðið. Hvað gaf hann fyrir vöruna?

Lausn:
Varan kostaði x kr.
x + 35x/100 = 2x - 13
sem einfaldað verður 13x = 260 og gefur x = 20

11.
 Kornkaupmaður keypti 2160 sekki af fóðurkorni fyrir 56,05 kr. hvern, að meðreiknuðum öllum kostnaði, en seldi síðan allt kornið eftir vigt. Upphaflega var hver sekkur talinn vera 53 3/4 kg. en við geymsluna rýrnaði kornið um 1 2/3 %. Hve dýrt verður kaupmaðurinn að selja hver 100 kg. ef hann á að fá 8 1/3  % söluhagnað og eiga þó eftir 132,75 kr. til að greiða með vátryggingargjald fyrir kornið?

Lausn:
Hver sekkur rýrnaði í 53 3/4 * (98 1/3)/100 = 52,85417 kg
Fyrir 100 sölu-kílo greiddi hann 100/52,85417 * 56,05 = 106,05 kr. 
Hann þarf að selja með  8 1/3  % hagnaði svo að 
útsöluverðið verður 106,05 kr.* 108 1/3  % = 114,88
Þar á ofan þarf hann að fá örlítinn hluta vátryggingargjaldsins ofan á hverja 100-kílóa sölu - eða nánar tiltekið::
132,75 / [52,85417 * 2160 / 100] = 0,12 kr svo að söluverðið þarf að vera
114,88 kr. + 0,12 kr. = 115 kr. 
(Landsprófsdæmi 1951)

Efst á þessa síðu * Forsíða * Reiknitorg *  Til baka í efnisyfirlit algebru Óla Dan